интересно
Предыдущая | Содержание | Следующая

Решение задач в смешанных стратегиях (частный случай)

Решить игру – означает найти цену игры и оптимальные стратегии. Рассмотрение методов нахождения оптимальных смешанных стратегий для матричных игр начинается с простейшей игры, описываемой матрицей 2 × 2. Игры с седловой точкой специально рассматриваться не будут. Если получена седловая точка, то это означает, что имеются невыгодные стратегии, от которых следует отказываться. При отсутствии седловой точки можно получить две оптимальные смешанные стратегии. Как уже отмечалось, эти смешанные стратегии записываются так:

Решив систему из трех последних уравнений, получаем оптимальные значения

Задача решена, так как найдены векторы

игры γ .

Имея матрицу платежей A, можно решить задачу графически. При этом методе алгоритм решения весьма прост (рис. 6.1):

По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины.

По оси ординат откладываются выигрыши при стратегии A1.

На линии, параллельной оси ординат, в точке 1 откладываются выигрыши при стратегии A2.

.

каждая оптимальная стратегия

можно решить графическим методом.

, то

для определения оптимальных смешанных стратегий используется линейное программирование.

Рассмотрим практическую задачу, в которой используются критерии игр для оценки наиболее эффективного поведения оперирующей стороны.

Пример 6.6. Выбрать оптимальный режим работы новой системы ЭВМ, состоящей из двух ЭВМ типов A1 и A2. Известны выигрыши от внедрения каждого типа ЭВМ в зависимости от внешних условий, если сравнить со старой системой.

При использовании ЭВМ типов A1 и A2 в зависимости от характера решаемых задач B1 и B2 (долговременные и краткосрочные) будет разный эффект. Предполагается, что максимальный выигрыш соответствует наибольшему значению критерия эффекта от замены вычислительной техники старого поколения на ЭВМ A1 и A2 .

Итак, дана матрица игры (табл. 6.13), где A1 и A2 - стратегии руководителя; B1 и B2 - стратегии, отражающие характер решаемых на ЭВМ задач.

Требуется найти оптимальную смешанную стратегию руководителя и гарантированный средний результат у, то есть определить, какую долю времени должны использоваться ЭВМ типов A1 и A2.

Решение. Запишем условия в принятых индексах:

:

стратегия руководителя вычислительного центра – A2. Для этой стратегии гарантированный выигрыш равен α = 0,4 (40 %) по сравнению со старой системой.

проведем графически (рис. 6.2).

Алгоритм решения:

По оси абсцисс отложим отрезок единичной длины.

По оси ординат отложим выигрыши при стратегии A1.

По вертикали в точке 1 отложим выигрыши при стратегии A2.

Она равна γ .

Выпишем решение и представим оптимальную стратегию игры:

Вывод. При установке новой системы ЭВМ, если неизвестны условия решения задач заказчика, на работу ЭВМ A1 должно приходиться 37,5 % времени, а на работу ЭВМ A2 - 62,5 %. При этом выигрыш составит 55 % по сравнению с предыдущей системой ЭВМ.