интересно
Предыдущая | Содержание | Следующая

Смешанные стратегии

Если в матричной игре отсутствует седловая точка в чистых стратегиях, то находят верхнюю и нижнюю цены игры. Они показывают, что игрок 1 не получит выигрыша, превосходящего верхнюю цену игры и что игроку 1 гарантирован выигрыш, не меньший нижней цены игры. В примере 6.5 игрок 1 получил по своей оптимальной стратегии A1, отличной от максиминной , выигрыш, равный верхней цене игры. Такова плата за информированность о стратегии игрока 2. Это крайний случай. Не улучшится ли результат игрока 1, если информация о действиях противной стороны будет отсутствовать, но игрок будет многократно применять чистые стратегии случайным образом с определенной вероятностью?

В такой ситуации, оказывается, можно получать выигрыши, в среднем большие нижней цены игры, но меньшие верхней.

Смешанная стратегия игрока – это полный набор применения его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Подведем итоги сказанного и перечислим условия применения смешанных стратегий:

игра без седловой точки;

игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;

игра многократно повторяется в сходных условиях;

при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;

- допускается осреднение результатов игр. Применяются следующие обозначения смешанных стратегий.

Чистые стратегии игрока являются единственно возможными несовместными событиями. В матричной игре, зная матрицу А (она относится и к игроку 1, и к

средний выигрыш

(математическое ожидание эффекта) игрока 1:

– компоненты векторов.

Путем применения своих смешанных стратегий игрок 1 стремится максимально увеличить свой средний выигрыш, а игрок 2 – довести этот эффект до минимально возможного значения. Игрок 1 стремится достигнуть

.

Игрок 2 добивается того, чтобы выполнялось условие

векторы, соответствующие оптимальным смешанным

, при которых будет

выполнено равенство

Цена игры - ^-средний выигрыш игрока 1 при использовании обоими игроками смешанных стратегий. Следовательно, решением матричной игры являются:

оптимальная смешанная стратегия игрока 1;

оптимальная смешанная стратегия игрока 2;

- цена игры.

, если они образуют

.

Существует основная теорема математических игр (принимается без доказательства).

Теорема. Для матричной игры с любой матрицей А величины

существуют и равны между собой: а = 0 = у.

Следует отметить, что при выборе оптимальных стратегий игроку 1 всегда будет гарантирован средний выигрыш, не меньший, чем цена игры, при любой фиксированной стратегии игрока 2 (и наоборот, для игрока 2). Активными стратегиями игроков 1 и 2 называют стратегии, входящие в состав оптимальных смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностями, отличными от нуля. Значит, в состав оптимальных смешанных стратегий игроков могут входить не все априори заданные их стратегии.