интересно
Предыдущая | Содержание | Следующая

Принятие решений в условиях риска

Методы принятия решений в условиях риска разрабатываются и обосновываются в рамках теории статистических решений. В этом случае имеем доброкачественную, или стохастическую, неопределенность, когда состояниям природы поставлены в соответствие вероятности, заданные экспертно либо вычисленные.

Критерии принятия решений в условиях риска могут использоваться те же, что и в условиях неопределенности, а также некоторые специальные критерии, например:

критерий ожидаемого значения;

критерий ожидаемое значение – дисперсия;

критерий предельного уровня;

критерий наиболее вероятного исхода.

– значения случайной величины X, то среднее

Другими словами, при достаточно большом объёме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерия ожидаемого значения справедливо только в случае, когда одно и тоже решение приходится применять достаточно большое число раз.

Справедливо и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.

Критерий ожидаемое значение – дисперсия является модификацией критерия ожидаемого значения. В нем максимизация ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией её дисперсии.

Критерий предельного уровня не дает оптимального решения, например, максимизирующего прибыль, или минимизирующего затраты. ЛПР на основании субъективных соображений определяет наиболее приемлемый способ действий.

Критерий наиболее вероятного исхода предполагает замену случайной ситуации детерминированной путем замены случайной величины прибыли (затрат) единственным, наиболее вероятным ее значением. Использование данного критерия в значительной степени опирается на опыт и интуицию. При этом необходимо учитывать два обстоятельства, затрудняющие применение этого критерия:

его нельзя использовать, если наибольшая вероятность события недопустимо мала;

применение критерия невозможно, если несколько значений вероятностей возможного исхода равны между собой.

Пример 6.3. Требуется принять решение о том, когда необходимо проводить профилактический ремонт ПЭВМ, чтобы минимизировать потери из-за неисправности. В случае, если ремонт будет производиться слишком часто, затраты на обслуживание станут большими при малых потерях из-за случайных поломок.

Так как невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность, необходимо найти вероятность того, что ПЭВМ выйдет из строя в период времени t . В этом и состоит элемент риска.

Математически это выглядит так: ПЭВМ ремонтируется индивидуально, если она остановилась из-за поломки. Через T интервалов времени выполняется профилактический ремонт всех n ПЭВМ. Необходимо определить оптимальное значение Т , при котором минимизируются общие затраты на ремонт неисправных ПЭВМ и проведение профилактического ремонта в расчёте на один интервал времени.

– вероятность выхода из строя одной ПЭВМ в момент t , а nt – случайная величина, равная числу всех вышедших из строя ПЭВМ в тот же момент. Пусть далее С 1 – затраты на ремонт неисправной ПЭВМ и С2 – затраты на профилактический ремонт одной машины.

на один интервал составят:

– математическое ожидание числа вышедших из строя ПЭВМ в момент

то M(nt ) =

npt . Таким образом,

:

, начиная с малого значения T, вычисляют ОЗ (T), пока не будут удовлетворены необходимые условия оптимальности.

Значения pt имеют вид (табл. 6.10):

интервала времени.

6.8. Стратегические игры

6.8.1. Основные понятия теории стратегических игр

На практике часто появляется необходимость согласования действий фирм, объединений, министерств и других участников хозяйственной деятельности в случаях, когда их интересы не совпадают. Здесь имеем ситуацию, когда решение принимается в условиях конфликта или противодействия (активного противника). В таких ситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участников, обязанных согласовать действия при столкновении интересов.

Теория игр – раздел математики для изучения конфликтных ситуаций. Это значит, что можно выработать оптимальные правила поведения каждой стороны, участвующей в решении конфликтной ситуации .

Игра – упрощенная формализованная модель реальной конфликтной ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные правила действия сторон:

исход игры при данном варианте действия;

объем информации каждой стороны о поведении всех других сторон. Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие случаи в

теории игр не рассматриваются.

Игрок – одна из сторон в игровой ситуации. Стратегия игрока – его правила действия в каждой из возможных ситуаций игры.

Платежная матрица (матрица эффективности, матрица игры) включает все значения выигрышей (в конечной игре).

Игра может быть названа игрой m×n . Представим матрицу эффективности игры двух лиц с нулевой суммой (табл. 6.11).

– соответственно

минимальные значения элементов aij по строкам и максимальные – по столбцам.

В теории игр не существует установившейся классификации видов игр. Однако по определенным критериям некоторые виды можно выделить.

Количество игроков. Если в игре участвуют две стороны, то ее называют игрой двух лиц. Если число сторон больше двух, ее относят к игре n игроков. Наибольший интерес вызывают игры двух лиц. Они и теоретически, и практически более глубоко проработаны.

Количество стратегий игры. По этому критерию игры делятся на конечные и бесконечные. В конечной игре каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий. Если хотя бы один игрок имеет бесконечное число возможных стратегий, то игра является бесконечной.

Взаимоотношения сторон. Согласно данному критерию игры делятся на кооперативные, коалиционные и бескоалиционные. Если игроки не имеют право вступать в соглашения, образовывать коалиции, то такая игра относится к бескоалиционным ; если игроки могут вступать в соглашения, создавать коалиции – коалиционной. Кооперативная игра – это игра, в которой заранее определены коалиции.

Характер выигрышей. Этот критерий позволяет классифицировать игры с нулевой и с ненулевой суммой. Игра с нулевой суммой предусматривает условие:

сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю. Игры двух игроков с нулевой суммой относят к классу антагонистических. В противном случае имеем игру с ненулевой суммой.

Вид функции выигрышей. По этому критерию игры подразделяются на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т.д.

Матричная игра – конечная игра двух игроков с нулевой суммой. Матричные игры всегда имеют решения в смешанных стратегиях. Они могут быть решены методами линейного программирования.

Биматричная игра – конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. Для биматричных игр также, как и для матричных, разработана теория оптимального поведения игроков.

Если функция выигрышей каждого игрока является непрерывной, игра считается непрерывной. Если функция выигрышей выпуклая, то и игра – выпуклая.

Если функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений функций одного аргумента, то игра относится к сепарабельной .

Количество ходов. По этому критерию игры делятся на одношаговые и многошаговые. Одношаговые игры заканчиваются после одного хода каждого игрока. Многошаговые игры бывают позиционными, стохастическими, дифференциальными и др.

Информированность сторон. По данному критерию различают игры с полной и неполной информацией.

Оценки игры.

Для примера берется матричная игра, представленная матрицей выигрышей m×n (см. табл. 6.11). Применяется принцип получения максимального гарантированного результата при наихудших условиях. Игрок 1 стремится принять такую стратегию, которая должна обеспечить максимальный проигрыш игрока 2. Соответственно игрок 2 стремится принять стратегию, обеспечивающую минимальный выигрыш игрока 1. Требуется рассмотреть оба этих подхода.

Подход игрока 1. Он должен получить максимальный гарантированный результат при наихудших условиях:

.

Чтобы этот гарантированный эффект в наихудших условиях был максимальным, нужно из всех αi выбрать наибольшее значение. Обозначим его α и назовем чистой нижней ценой игры (максимин):

Таким образом, максиминной стратегии отвечает строка матрицы, которой соответствует элемент α . Какие бы стратегии ни применял игрок 2, игрок 1 максиминной чистой стратегией гарантирует себе выигрыш, не меньший, чем α . Таково оптимальное поведение игрока 1.

Подход игрока 2. Своими оптимальными стратегиями он стремится уменьшить выигрыш игрока 1, поэтому при каждой j-й чистой стратегии он отыскивает величину своего максимального проигрыша

в каждом j-м столбце, то есть определяет максимальный выигрыш игрока 1, если игрок 2 применит j-ю чистую стратегию. Из всех своих n j-х чистых стратегий он отыскивает такую, при которой игрок 1 получит минимальный выигрыш, то есть определяет чистую верхнюю цену игры (минимакс): minmaxaij

mi j i

Чистая верхняя цена игры показывает, какой максимальный выигрыш может гарантировать игрок 1, применяя свои чистые стратегии, - выигрыш, не меньший, чем а. Игрок 2 за счет выбора своих чистых стратегий не допустит, чтобы игрок 1 мог получить выигрыш, больший, чем Д Таким образом, минимаксная стратегия отображается столбцом платежной матрицы, в котором находится элемент fi (см. табл. 6.13). Она является оптимальной чистой, гарантирующей стратегией игрока 2, если он ничего не знает о действиях игрока 1.

Чистая цена игры v цена данной игры, если нижняя и верхняя ее цены совпадают:

maxminaij = minmaxaij

i j j i

В этом случае игра называется игрой с седловой точкой.

Пример 6.4. Определить верхнюю и нижнюю цены при заданной матрице игры и указать максиминную и минимаксную стратегии. Представим матрицу игры с обозначениями стратегий ft , а i (табл. 6.12).

Решение. Определяется нижняя цена игры:

(см. столбец αi ). Определяется верхняя цена игры:

– чистая цена игры при стратегиях A2 и B1. Игра

имеет седловую точку.

.

Решение. Определим максиминную стратегию игрока 1:

игрока 1 – A2 – максиминная .

, а та стратегия, которая соответствует

. В этом случае его максимальный гарантированный выигрыш будет равен

, поэтому он выберет свою оптимальную стратегию А 1 ,

зная, что игрок 2 выбрал свою стратегию В 2 . Таким образом, рассмотренный пример дает результат, отличный от результата при игре с седловой точкой.

Стратегия является оптимальной, если ее применение обеспечит игроку наибольший гарантированный выигрыш при любых возможных стратегиях другого игрока.

На примере 6.5 показано, что бывают ситуации, когда игрок 1 может получить выигрыш, превосходящий максиминный , если ему известны намерения игрока 2.

При многократном повторении игры в сходных условиях можно добиться гарантированного среднего выигрыша, превосходящего для игрока 1 максиминный .