интересно
Предыдущая | Содержание |

Общая постановка задачи

– век-

тор, компоненты bjk которого определяют требуемое значение критерия по j-му направлению в k-ом варианте программы, j =1, m (m –

– число вариантов программы). Пусть, далее, имеются n предприятий – потенциальных участников программы, разработавших и представивших на конкурс программы реформирования и реструктуризации. Каждое предприятие может представить несколько вариантов программ реформирования, которые отличаются результатами (то есть вкладом в увеличение критериев по направлениям) и требуемыми затратами Администрации. Пусть каждое предприятие представляет не более q

в противном случае.

Выпишем ограничения, определяющие допустимые варианты программы развития региона. Первое ограничение отражает требование выбора для каждого предприятия не более одного варианта программы реформирования, то есть

Следующая группа ограничений опирается на условие достижения требуемых значений критериев по направлениям

– требуемые значения критериев по направлениям для

выбранного варианта k региональной программы из множества вариантов, обеспечивающих требуемое значение комплексной оценки. Требуется решить задачу выбора варианта региональной программы, выбора множества предприятий, участвующих в региональной программе и, наконец, выбора варианта программы реформирования для каждого из этих предприятий, так чтобы затраты администрации были минимальными.

удовлетворяют соотношениям

В этом случае ограничения (3.2) можно заменить одним ограничением

Заметим, что без ограничения общности всегда можно взять a1 = 1. Для проверки условий сильной сбалансированности достаточно определить

, то есть одно и то же для всех i , s , то варианты

приближенно в виде

, то есть первое направление является базовым.

Поставим задачу определения чисел aj так, чтобы ошибка

была минимальной.

Представим (3.5) в виде

2 шаг. Определяем

шаг. Определяем

то вычисляем d2 по формуле (3.8) и повторяем эту процедуру до тех пор, пока на очередном шаге не получим dj , такое что выполняется равенство (3.7). Если ошибки dj допустимы для всех j = 2,m , то

можно считать программы реформирования предприятий сбалансированными.

Пример 3.1. пусть множество потенциальных участников региональной программы состоит из трех предприятий, данные о которых приведены в таблице 3.1.

Пусть далее имеются три варианта программы, дающие требуемое значение комплексной оценки:

bk следующего вида:

Рассмотрим возможность считать программы реформирования предприятий сбалансированными.

Рассматриваем второе направление.

шаг. Определяем

2 шаг. Определяем

Рассмотрим третье направление. 1 шаг. Определяем

2 шаг. Определяем

допустимыми, то можно применить метод решения для случая сбалансированных программ реформирования.

Решаем задачу о ранце для первого направления при различных уровнях затрат, то есть строим сеть аналогичную сети рис. 2.5 из примера 2.3. Соответствующая сеть при уровне затрат от 1 до 6 приведена на рис. 3.1.

Оптимальные пути (с точки зрения первого направления) выделены толстыми линиями. У конечных вершин поставлены значения критериев для всех трех направлений.

Т аким образом, оптимальным

и включение в программу первых двух предприятий со вторыми вариантами программы реформирования.

Если нет уверенности в выполнении условия сбалансированности программ реформирования предприятий, то решение задачи становится более сложным. Можно, конечно, применяя описанный ваше метод, построить сеть, позволяющую определить все Парето-оптимальные варианты, однако, их число может быть достаточно большим. Рассмотрим еще один подход к решению задачи в основе которого лежит другой способ построения комплексной оценки, а именно, будем оценивать не величины критериев по направлениям, а непосредственно программы реформирования предприятий. Так в предыдущем примере потенциальными участниками программы были три предприятия, каждое из которых представляло две программы реформирования. Поступим следующим образом. Сначала получим обобщенную оценку программ первых двух предприятий. Возможный вариант приведен на рис. 3.2.

Шкалу обобщенной оценки возьмем состоящей из четырех градаций – 1, 2, 3, 4. Теперь агрегируем обобщенную оценку двух первых предприятий с вариантами программ третьего предприятия, рис. 3.3.

Таким образом мы получаем возможность определять комплексную оценку для любого набора предприятий, участвующих в программе. Если теперь построить сеть напряженных вариантов, то применяя описанный в разделе 1 алгоритм, мы определяем оптимальный по стоимости состав предприятий, участвующих в программе. Сеть напряженных вариантов для комплексной оценки 2 рис. 3.2, 3.3 приведена на рис. 3.4.

Индексы вершин поставлены в квадратных скобках. Оптимальный вариант выделен толстыми линиями. Ему соответствует включение в программу первых двух предприятий с вторыми вариантами реформирования, что совпадает с решением, полученным в примере 3.1. Основная проблема при применении описанного подхода связана с построением комплексной оценки в определенном смысле согласованной с комплексной оценкой направлений. Согласованность означает, что любое подмножество программ предприятий, имеющее

комплексную оценку K при агрегировании оценок по направлениям, имеет ту же оценку при агрегировании по предприятиям. И наоборот, если данное подмножество программ предприятий имеет комплексную оценку K при агрегировании по предприятиям, то оно имеет ту же комплексную оценку K при агрегировании по направления. Так, например, в рассмотренном примере 3.1 комплексную оценку 2 имеют следующие напряженные варианты программы предприятий:

Легко видеть, что комплексная оценка программ реформирования предприятий в данном случае не согласована с комплексной оценкой направлений региональной программы. Действительно, вариант, в котором первое предприятие входит во второй программой, а остальные два – с первой, имеет комплексную оценку 2 при агрегировании по направлениям и в то же время – комплексную оценку 1 при агрегировании по предприятиям. Пример согласованной оценки по предприятиям приведен на рис. 3.5.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что любой напряженный вариант, имеющий оценку 2 при агрегировании по направлениям, имеет такую же оценку при агрегировании по предприятиям и наоборот.

Задача построения комплексной оценки программ реформирования предприятий, согласованной с заданной комплексной оценкой направлений региональной программы развития, относится к сложным комбинаторным задачам. Важно, однако, что такую комплексную оценку всегда можно построить.

Теорема 2. Для любой комплексной оценки направлений программы регионального развития всегда можно построить согласованную комплексную оценку программ реформирования предприятий, входящих в региональную программу.

Доказательство. Возьмем произвольную структуру комплексной оценки предприятий, например, сначала получим обобщенную оценку программ реформирования первого и второго предприятий, затем делаем свертку этой оценки с третьим предприятием и т.д. Рассмотрим первые два предприятия. Пусть число вариантов программы реформирования каждого предприятия равно m (включая вариант не участвовать в региональной программе). Тогда число возможных вариантов реформирования двух предприятий равно m2.

где q –

различными вариантами, каждому из которых соответствует определенный вектор b , причем различные варианты имеют разные векторы b . На последнем шаге строим матрицу, строкам которой соответствуют различные варианты программ реформирования первых (n-1) предприятий, а столбцам – варианты программы реформирования n-го предприятия. На пересечении строк и столбцов ставится комплексная оценка соответствующего варианта региональной программы, получаемая по заданной комплексной оценке направлений региональной программы.

Заметим, что доказательство проводится аналогичным образом для любой структуры комплексной оценки предприятий.

Пример 3.2. Имеются три предприятия, каждое из которых разработало по два варианта программы реформирования. Таким образом, для каждого предприятия имеются три возможных варианта: вариант 0 – не участвовать в программе, вариант 1 – участвовать по первому варианту и вариант 2 – по второму. Программа развития региона оценивается по двум направлениям. Вклады предприятий в развитие каждого направления и затраты Администрации приведены в таблице 3.2.

шаг. Рассматриваем 1 и 2 предприятия. Возможные варианты реформирования (их всего 9) приведены в таблице 3.3.

Комплексная оценка направлений программы приведена в таблице 3.4.

В таблице 3.3 в скобках указана комплексная оценка вариантов программы без включения третьего предприятия. Если включить в программу третье предприятие с первым вариантом программы реформирования, то на основе таблицы 3.3 получим таблицу 3.5.

Наконец, если включить в региональную программу предприятие 3 в вторым вариантом развития, то получим таблицу 3.6.

На основе полученных таблиц составляем матрицу свертки для комплексной оценки программ реформирования предприятий, приведенную в таблице 3.7.

Из таблицы видно, что столбцы со 2 по 6 идентичны. Поэтому оценки 2, 3, 4, 5 и 6 заменяем одной оценкой 2. Аналогично, оценки 7, 8 и 9 заменяем одной оценкой 3. Окончательно получаем комплексную оценку программ реформирования предприятий (рис. 3.6), согласованную с комплексной оценкой направлений региональной программы (таблица 3.4).

Теперь можно решить задачу обеспечения требуемого значения комплексной оценки с минимальными затратами, построив сеть напряженных вариантов. Для комплексной оценки 2 эта сеть приведена на рис. 3.7. Числа в квадратных скобках у висячих вершин равны затратам предприятий на соответствующие программы реформирования. Оптимальный вариант региональной программы выделен толстыми дугами. Он включает только одно третье предприятие.

Решим задачу для требуемого значения комплексной оценки (хорошо). Из рис . 3.6 видно, что оценка 3 может быть получена только одним способом (2, 3), что включает второй вариант программы реформирования для третьего предприятия и обобщенную оценку 3 программ реформирования первых двух предприятий. Из рис . 3.7 видно, что минимальные затраты для обеспечения обобщенной оценки 3 равны 12, что соответствует включению в региональную программу первого предприятия с первым вариантом программы реформирования и второго - со вторым.