интересно
Предыдущая | Содержание | Следующая

Методы оптимизации комплексной программы развития с учетом риска

Рассмотренный выше подход к построению оптимальной по стоимости программы развития региона имеет один недостаток. Он связан с тем, что напряженные варианты развития обладают низкой надежностью реализации. Действительно, достаточно срыва программы по одному направлению, и поставленная цель не достигается. Для повышения надежности вариантов программы введем понятия критической оценки и резерва направления.

будем называть критической оценкой для j-го направления варианта x .

Определение 2. Резервом j-го направления варианта x называется разность

Замечание. Если при уменьшении оценки до 1 комплексная оценка не меняется, то будем по определению считать, что резерв направления равен любой требуемой величине М (достаточно большой).

для всех j , то есть оценки всех направлений варианта x являются критическими, то мы получаем напряженный вариант развития. Очевидно, что при разработке программы развития для повышения надежности ее реализации целесообразно предусмотреть резервы для особо рисковых направлений.

Аналогично можно определить резерв промежуточной (обобщенной) оценки относительно комплексной оценки, а также резерв оценки данного направления относительно обобщенной оценки.

Рассмотрим комплексную оценку состояния региона, связанную с программой развития малого предпринимательства. Выделим основные цели развития малого предпринимательства. Первая цель – это рост экономической эффективности и, как следствие, налоговых поступлений. Вторая цель – увеличение доходности, отражающаяся, в основном, в росте заработной платы, а третья цель – увеличение занятости. Естественно объединить уровень занятости и уровень доходности в обобщенный критерий социальный уровень. Окончательно получаем структуру комплексной оценки состояния региона (в части, связанной с развитием малого предпринимательства), показанную на рис. 2.1.

На рисунке направление занятости обозначено буквой З, доходности – Д, экономической эффективности – Э. Обобщенная оценка социального уровня обозначена С.

С привлечением экспертов – руководящих работников Администрации заполняются смысловые матрицы, показанные на рис. 2.2. Как и в работе [4], оценки 1, 2, 3, 4 соответствуют качественным градациям – плохо, удовлетворительно, хорошо, отлично.

Заметим, что приведенные матрицы отражают политику областной Администрации в области развития малого предпринимательства. Так, например, обобщенная оценка социального уровня равна единице (плохо) и в случае, когда оценка уровня занятости равна 1, а уровня доходности – 2 (удовлетворительно), и в случае, когда, наоборот, оценка уровня занятости равна 2, а оценка уровня доходности – 1. Действительно, в данном случае для Администрации одинаково важны обе цели – и увеличение уровня доходности, и увеличение уровня занятости. Аналогично, при объединении оценок социального уровня и уровня экономической эффективности при малых значениях оценок (плохо или удовлетворительно) для Администрации важно продвижение хотя бы в одном направлении. Однако, в области высоких оценок (хорошо и отлично) приоритет отдается уровню экономической эффективности. Это и понятно, так как рост экономической эффективности позволяет решить многие проблемы области (и социальные, и экономические).

имеющий комплексную оценку 3.

и резерв обобщенной

. Определим, наконец, резервы второго и третье-

З аметим, что

то есть резерв направления не меньше (больше или равен) суммы резерва обобщенной оценки и резерва направления относительно обобщенной оценки.

В дальнейшем будем рассматривать матрицы, в которых изменения оценки по строке или столбцу происходит не более, чем на единицу. Заметим, что этого всегда можно добиться путем введения дополнительных строк или столбцов. Кроме того, маловероятно, что при изменении оценки направления или обобщенной оценки на единицу, оценка более высокого уровня (соответственно – обобщенная или комплексная оценка) изменилась сразу на 2 единицы. В этом случае имеет место следующая связь между резервом направления, резервом обобщенной оценки и резервом направления относительно обобщенной оценки.

Теорема 1. Резерв направления больше или равен сумме резерва обобщенной оценки и резерва направления относительно обобщенной оценки.

величина обобщенной оценки уменьшится не более чем на K единиц в силу отмеченного выше свойства матриц свертки критериев. Таким образом, резерв направления не меньше (больше или равен) чем

Будем рассматривать варианты, резервы направлений которых не превышают 1. Этого вполне достаточно для практики, поскольку такая ситуация обеспечивает достаточную надежность реализации программы.

Следствие 2.1. Если оценка направления больше 1, а резерв направления равен 1, то он равен сумме резерва обобщенной оценки и резерва направления относительно обобщенной оценки.

Доказательство. Если резерв направления строго больше суммы резерва обобщенной оценки и резерва направления относительно обобщенной оценки, то оба последних резерва равны 0. Но из этого следует, что уменьшение оценки направления на 1 уменьшает обобщенную оценку на 1, что в свою очередь уменьшает комплексную оценку на 1 и, следовательно, резерв направления равен 0. Полученное противоречие доказывает следствие.

По аналогии с [4] введем понятие напряженного варианта с резервами.

Пусть заданы требуемые резервы для всех направлений.

с величинами резервов

направлений не менее заданных, у которого оценки направлений не более, чем у варианта x .

Значение напряженных вариантов в данном случае то же самое, что и в случае напряженных вариантов без резерва, то есть, программу минимальной стоимости при заданных резервах направлений следует искать среди напряженных вариантов с резервами направлений не менее заданных .

Опишем алгоритм определения всех напряженных вариантов с резервами.

(если, конечно, эта оценка не равна 1). Анализируя матрицу свертки показателей экономической эффективности и социального уровня, выделяем следующие варианты (1; 2) и (2; 1). Алгоритм их выделения аналогичен алгоритму определения напряженных вариантов, описанному в работе [4]. Во вторую группу включим варианты в которых резерв обобщенной оценки социального уровня равен 1 (согласно лемме, резерв направления уровень занятости можно взять равным 0). Такой вариант всего один – (1; 3). Алгоритм выделения таких вариантов также аналогичен описанному в [4] с тем отличием, что сначала находятся напряженные варианты с нулевым резервом (в нашем случае это вариант (1, 2)), а затем оценка социального уровня в том варианте увеличивается на 1 (получаем вариант (1, 3)). Это не касается варианта (2, 1), который по определению имеет любой резерв по критерию социального уровня (хуже 1 быть не может).

Для каждого из вариантов первой группы определяем варианты оценок уровня дохода и уровня занятости, имеющие резерв D З = 1 по критерию уровня занятости (или имеющие по этому критерию оценку уровня занятости, равную 1. В результате для обобщенного варианта Э = 2, С = 1 получаем единственный вариант (2, 1, 1), а для обобщенного варианта Э = 1, С = 2 получаем три варианта: (1, 1, 4), (1, 2, 3) и (1, 3, 1). Первый из них получен из напряженного варианта с нулевым резервом по уровню занятости (1, 1, 3) путем увеличения оценки уровня занятости на одну единицу, второй – (1, 2, 3), также получен из напряженного варианта с нулевым резервом D З = 0 (1, 2, 2) путем увеличения оценки уровня занятости на 1. Наконец, третий имеет оценку уровня занятости, равную 1, и потому имеет любой резерв.

Перейдем к рассмотрению второй группы, состоящей из одного обобщенного варианта (1, 3). Для этого находим все напряженные варианты с нулевыми резервами, имеющие оценку социального уровня 3. Таких вариантов два: (1, 2, 3) и (1, 4, 2), из них вариант (1, 2, 3) уже был получен выше. Окончательно получаем сеть напряженных вариантов, в которых резервы первых двух направлений (уровень экономической эффективности и уровень доходности) больше или равны 0, резерв направления уровень занятости не менее 1. Сеть рис. 2.3. содержит все напряженные варианты с требуемыми резервами, дающими комплексную оценку 2. Их всего 5: (1, 1, 4), (1, 2, 3), (1, 3, 1), (1, 4, 2), (2, 1, 1).

Дадим обобщение описанного алгоритма на случай, когда требуемые резервы равны 1 для обоих направлений – и уровня занятости и уровня доходности. В данном случае, как и ранее на первом этапе, следует рассмотреть две группы обобщенных вариантов (то есть вариантов, описываемых обобщенной оценкой социального уровня и оценкой уровня экономической эффективности).

В первую группу входят обобщенные варианты с нулевым резервом оценок социального уровня.

Во вторую группу входят обобщенные варианты с резервом оценки социального уровня, равным 1.

Отличие возникает на втором этапе для первой группы. Действительно, согласно лемме 2.1 мы должны определить для каждого обобщенного варианта все варианты с резервами по направлениям уровня доходности и уровня занятости не менее 1. Заметим, однако, что все варианты, показанные на рис. 2.3. уже имеют резерв по направлению уровня доходности не менее 1, так что сеть напряженных вариантов, в которых по направлениям уровня доходности и уровня занятости имеется резерв не менее 1 совпадает с сетью рис. 2.3.

Описанный алгоритм позволяет строить все напряженные варианты при любых требованиях к резервам направлений. Когда резерв по направлениям уровень занятости и уровень доходности больше 1, то приходится на первом этапе рассматривать большее число групп обобщенных вариантов.

Построив сеть напряженных вариантов, можно решать задачу оптимизации программы по стоимости, применяя алгоритм, описанный в п. 1, если мероприятия по отдельным направлениям не пересекаются. В принципе такая ситуация возможна, если предприятия малого бизнеса разбиты на три группы. Для одной группы предприятий основной целью программы реформирования является рост экономической эффективности, для другой – увеличение занятости, а для третей – увеличение уровня дохода (заработной платы работников). В этом случае отбор кандидатов для участия в региональной программе можно проводить независимо для каждой группы при заданном уровне критерия по соответствующему направлению (оставить на уровне плохо, подтянуть до уровня удовлетворительно, хорошо или даже отлично). Соответственно, можно оценить затраты Администрации на достижение требуемых уровней по каждому направлению.

Пример 2.1. Пусть матрица затрат имеет вид:

Работа алгоритма показана на рис. 2.4. (описание алгоритма дано в п. 1). Толстыми дугами выделен оптимальный по стоимости вариант (2, 1, 1), нацеленный на рост уровня экономической эффективности.

Несмотря на простоту и элегантность этого алгоритма, описанная ситуация не совсем адекватна реальной действительности. На практике предприятия, заинтересованные включиться в региональную программу, разрабатывают свои программы реформирования, предусматривающие рост всех трех показателей – и уровня экономической эффективности, и уровня занятости, и уровня доходности. Более того, Администрация стимулирует предприятия к разработке именно таких программ и организует конкурсный отбор с учетом всех трех факторов. Для такого случая описанный алгоритм уже не применим. Дадим формальную постановку задачи для этого случая.

Пусть выбран вариант K программы, которому соответствуют вполне определенные значения роста уровня экономической эффективности (увеличение налоговых поступлений), уровня доходности (рост заработной платы) и уровня занятости (рост числа работающих или уменьшение уровня безработицы). Обозначим соответствующие значения уровня экономической эффективности b1k, уровня доходности – b2k и уровня занятости – b3k. Обозначим далее через aij – вклад i-го предприятия в увеличение значения соответствующего уровня j согласно разработанной программе реформирования, а через ci – затраты Администрации на реформирование i-го предприятия (в основном это налоговые льготы). Задача при заданном варианте заключается в определении множества предприятий Q, такого что

и суммарные затраты Администрации

минимальны.

Пусть число вариантов программы, обеспечивающих требуемое значение комплексной оценки при заданных резервах направлений, равно m . Тогда необходимо выбрать такой вариант k , для которого при соответствующем векторе bk решение задачи (2.1), (2.2) дает минимум затрат.

при ограничении (2.1).

Другими словами, если эффективность программы реформирования предприятия i по направлению j , равная aij /ci , выше чем у предприятия k , то его эффективность по другим направлениям тоже выше чем у предприятия k . Назовем это условие согласованностью по направлениям.

Следует отметить, что анализ программ реформирования предприятий Владимирской области, представленных на конкурс, показал, что условие согласованности по направлениям имеет место почти всегда (за небольшими исключениями). Это и понятно, предприятие, представившее эффективную программу экономического роста, как правило, обеспечивает и рост заработной платы и высокую занятость. При справедливости сделанного предположения можно предложить эффективный метод решения задачи.

Определим минимальный номер q предприятия, такой что

Пусть максимум в выражении (2.4) достигается на варианте p. Тогда

имеет величину комплексной оценки не менее требуемой.

Рассмотренный метод по сути дела является методом затраты – эффект [6] при условии согласованности по направлениям.

Если неравенство (2.4) выполняется как строгое равенство, то полученное решение является оптимальным.

Пример 2.2. Пусть имеются шесть предприятий, желающих включиться в региональную программу, и представивших свои программы реформирования, данные о которых приведены ниже:

Пусть, далее, имеются три варианта программы, дающие требуемое значение комплексной оценки:

оценке s каждого направления j соответствуют конкретные уровни Ysj соответствующих критериев, приведенные в таблице 2.3.

Из таблицы 2.3 получаем значения целевых установок bjk для каждого из трех вариантов программы:

с включением в нее первых трех предприятий. Минимальные затраты равны 6, причем по всем направлениям значение критериев выше требуемых.

Описанный алгоритм может не дать оптимального решения. Как известно [6], оптимальное решение в методе затраты – эффект можно получить, решая так называемую задачу о ранце. Для того, чтобы применить этот подход к решению поставленной задачи, введем понятие сбалансированности программ реформирования.

Определение 4. Программы реформирования предприятий называются сбалансированными, если оптимальное решение задачи максимизации критерия по данному направлению при ограниченных затратах одно и то же для любого направления и любого уровня затрат.

Если программы реформирования предприятий сбалансированы, то при выбранном варианте достаточно решить три задачи о ранце, каждая из которых заключается в минимизации затрат на достижение требуемого значения критерия по данному направлению и из них выбрать решение с максимальными затратами. Однако, более эффективен следующий метод. Решаем параметрическую задачу о ранце, максимизируя уровень первого критерия при заданных затратах (затраты являются параметром). Поскольку программы реформирования сбалансированы, то полученные оптимальные решения является оптимальными и для второго и третьего критерия. Осталось определить минимальные затраты, при которых уровни критериев не меньше требуемых хотя бы для одного варианта. Поясним алгоритм на примере.

Пример 2.3. Возьмем данные из примера 2.2. Так как там было получено решение с затратами С = 6, то достаточно уровень затрат менять от 1 до 6. Алгоритм решения параметрической задачи о ранце аналогичен алгоритму решения обычной задачи о ранце методом динамического программирования. Согласно этому алгоритму строится сеть, путь максимальной длины в которой определяет оптимальное решение соответствующей задачи о ранце. Эта сеть для рассматриваемого примера приведена на рис. 2.5.

Достаточным условием сбалансированности программ реформирования является следующее:

(условия сильной сбалансированности). Действительно, в этом случае задача минимизации затрат при заданном увеличении значений j-го критерия, то есть задача минимизации (2.2) при ограничении:

одним ограничением:

Таким образом, в данном случае задача сведена к обычной задаче о ранце.

Возьмем три варианта программы из примера 2.2:

приведены в таблице 2.4. Определим величину B из ограничения (2.5). Определяем сначала

В озьмем затраты Сi из приме-

или

минимизирующие

при ограничении

Т аким образом, в про-

грамму включаются первые два предприятия, причем выбирается первый вариант программы.

Условие сильной сбалансированности естественным образом выполняется, если комиссия по отбору предприятий в программу будет проводить отбор, учитывая сбалансированность программы реформирования, то есть если оценка программы будет проводиться по критерию