интересно
Предыдущая | Содержание | Следующая

Взаимосвязь между различными представлениями индивидуальных предпочтений

Напомним, что до сих пор мы рассматривали модели индивидуального поведения на рынке труда в предположении, что за каждый отработанный час агент получает одинаковую оплату (ставка оплаты считалась постоянной). Откажемся от этого предположения, то есть расширим класс допустимых систем стимулирования (любая система стимулирования может рассматриваться как пропорциональная с переменной ставкой оплаты).

Отметим, что, если

а( ) - возрастающая (убывающая, выпуклая, вогнутая) функция, то <т (0 - убывающая (соответственно, возрастающая, выпуклая, вогнутая) функция.

Если функция стимулирования задана, то, фактически, можно считать, что задана и зависимость дохода от свободного времени:

Определяя наиболее предпочтительное (с точки зрения значения своей функции полезности u (q , t )) значение продолжительности рабочего времени, агент решает следующую задачу:

получаем необходимое условие оптимальности:

то есть в точке оптимума

альтернативная стоимость единицы свободного времени равна скорости изменения вознаграждения (см. экономические интерпретации подобных утверждений в [28, 36, 44]).

В предыдущих разделах мы рассмотрели несколько различных описаний (моделей) индивидуальных предпочтений, определяющих поведение на рынке труда. Исследуем взаимосвязь между ними.

- действие агента. В

соответственно, желательной продолжительности рабочего времени т от ставки оплаты а, или минимальной ставки оплаты от продолжительности рабочего времени, которое агенту предлагается отработать.

Установление взаимосвязи между различными моделями предполагает исследование следующей задачи: информация об индивидуальных предпочтениях задана одним из четырех способов (см. рисунок 21):

Известна функция полезности u (q , t );

П. Известна минимальная ставка почасовой оплаты о с{ т), при которой агент согласен отработать заданное число часов т;

Известна зависимость т( а) желательной продолжительности рабочего времени (в день) т от ставки почасовой оплаты а;

Известна целевая функцияДт , о).

Требуется для каждого из четырех описаний ответить на следующий вопрос: можно ли, зная данную конкретную зависимость тем или иным образом (и каким?) восстановить остальные зависимости?

Помимо сформулированного общего вопроса о взаимосвязи различных представлений индивидуальных предпочтений, существуют два более частных вопроса. Первый - так как мы умеем (будем, по крайней мере, считать, что это так) решать теоретико-игровую задачу стимулирования, то каковы должны быть требования к экспериментальным данным для других моделей, по которым можно было бы идентифицировать теоретико-игровую модель? Второй вопрос обусловлен тем, что при рассмотрении макроэкономических моделей в основном изучаются пропорциональные системы стимулирования. В то же время, из формального анализа известно, что во многих случаях пропорциональные системы стимулирования, являющиеся частным случаем положительн значных кусочно-непрерывных систем стимулирования, не оптимальны [15, 21]. Поэтому необходимо выяснить можно ли, используя эти частные зависимости при экспериментальной идентификации различных представлений индивидуальных предпочтений, получить информацию о более общих свойствах, например, функции затрат?

Для четырех вариантов описания индивидуальных предпочтений возможны шестнадцать их попарных комбинаций. Так как очевидно, что каждый из вариантов эквивалентен сам себе, получаем двенадцать комбинаций, последовательно рассматриваемых ниже (нумерация связей между вариантами введена на рисунке 21, направление стрелок отражает интересующее нас направление зависимости - из какого какое описание мы хотим получить).

Прежде чем систематически рассматривать взаимосвязь между вариантами, обсудим что мы будем понимать под восстановлением одного описания индивидуальных предпочтений на основании другого описания. Так как каждое из описаний однозначно определяется вполне конкретной зависимостью одних параметров от других (задается функцией или соответствием), то наиболее жестким требованием является возможность однозначного восстановления искомой зависимости по заданной. Если по известной зависимости А можно однозначно вычислить зависимость В, где А,В е {I; II; III; IV}, то будем говорить, что В является следствием А, и будем обозначать этот факт А —>В. Если одновременно выполнено А —>В и В —>А, то описания А и В эквивалентны.

Требование возможности однозначного восстановления и, тем более, эквивалентности является во многих случаях слишком жестким. Поэтому, помня, что нас интересует поведение агента, рациональное с точки зрения формально описанной системы его предпочтений (в силу гипотезы рационального поведения рациональным является выбор агентом стратегии, максимизирующей его целевую функцию или функцию полезности), можно использовать более слабый вид причинно-следственных связей, основывающийся на эквивалентности наблюдаемого извне системы ее поведения. Действительно, если, например, две различных целевых функции имеют одинаковые точки максимума (что в рамках гипотезы рационального поведения приводит к выбору агентом этой точки), то с точки зрения внешнего наблюдателя (который видит только выбранную агентом стратегию) обе целевых функции эквивалентны. Такой вид причинно-следственных связей будем называть эквивалентностью по внешнему поведению 1 (ЭВП).

Перейдем к последовательному рассмотрению двенадцати вариантов связей между четырьмя представлениями индивидуальных предпочтений.

Вариант 1. Пусть известна функция полезности агента u (q , t ), исследуем возможность получения на основании этой информации зависимости а( т) минимальной ставки оплаты, побуждающей агента отработать заданное число часов.

то максимум полезности может достигаться при бесконечных ставках оплаты (см. также выше).

Поэтому о зависимости а( т) в этом случае имеет смысл говорить в предположении, что агент использует какую-либо частную стратегию, например, стратегию 4 (см. выше), то есть стремится максимизировать свободное время при условии, что его доход не ниже некоторой заданной величины q0 (условие 1.1). В последнем случае выполнено:

Альтернативой является стратегия (условие 1.2), заключающаяся в стремлении агента обеспечить себе заданный уровень полезности, например, уровень U , соответствующий резервной заработной плате [15, 41]. Тогда имеет место

В случае, если выполнено (4), затраты агента определяются наиболее просто - они равны тому доходу, который необходимо выплатить агенту для того, чтобы он получил заданный уровень полезности:

Таким образом, утверждение / —> Л в общем случае не имеет места, оно справедливо лишь при наложении дополнительных (достаточных) условий, например - условий 1.1 или 1.2.

Вариант 2. Однозначное восстановление функции полезности u (q , t ) по известной зависимости а( т) в общем случае невозможно. Соответствующие достаточные условия могут быть установлены для набора частных случаев и не носят сколь либо общего характера (см. также вариант 10).

Вариант 3. Отображение т( а) может рассматриваться как обратное к функции ос{т), поэтому с формальной точки зрения достаточным условием существования обратной функции является, например, условие 3: функция а(т) - непрерывная и строго монотонная. Содержательные интерпретации взаимосвязи описаний II и III приведены выше.

Вариант 4. По аналогии с вариантом 3 с формальной точки зрения можно утверждать, что для того, чтобы для функции т( а) существовала обратная функция (а не многозначное отображение) достаточно, чтобы выполнялось условие 4: функция т(а) -непрерывная и строго монотонная.

Вариант 5. Пусть известна функция т( а), исследуем возможность получения на основании этой информации целевой функции j {o , т). Так как целевая функция представляет собой разность между стимулированием и затратами, и именно затраты являются искомой величиной, то под восстановлением целевой функции следует понимать определение функции затрат агента.

По известной функции т( а) можно вычислить зависимость дохода от ставки оплаты:

Желательный доход агента может рассматриваться как минимальные затраты центра на стимулирование по компенсации затрат агента [15, 22]. Однако, затраты агента в явном виде зависят от его действия - продолжительности рабочего времени те [0; 7], поэтому использовать выражение (6) в лоб для определения затрат нельзя - необходимо перейти от зависимости q (a ) к зависимости q {f ). Сделать это можно, в частности, в рамках варианта 4, что требует введения дополнительных предположений. Поэтому в качестве достаточного для возможности рассматриваемого перехода может рассматриваться условие 4 (см. также описание варианта 11).

Однако, такой подход к определению функции затрат неправомерен по следующей причине. Если используется пропорциональная система стимулирования, то в предположении существования внутреннего решения выбираемое агентом действие должно удовлетворять уравнению

где с () - производная функции затрат. Выражая из (7) продолжительность рабочего времени, получаем:

где с ~ (•) - функция , обратная производной функции затрат. Зная зависимость т( о;), можно (в рамках предположений о монотонности и непрерывности производной функции затрат, а также предположения о том, что с(0) = 0) найти функцию затрат как решение уравнений (7)-(8), то есть

Для существования функции затрат, вычисляемой в соответствии с выражением (9), достаточно выполнения условия 4. В случае нарушения условия 4 при обработке экспериментальных данных (см. вторую часть настоящей работы) использовалась минимальная ветвь отображения т (•). Сравнивая выражения (6) и (9), получаем, что при любой монотонно возрастающей положительнозначной функции т( •) выполнено

то есть именно выражение (9) характеризует минимальные затраты на стимулирование.

Вариант 6. По известной целевой функции (то есть по известным затратам с( т)) зависимость т(а) вычисляется достаточно просто (см. также варианты 8 и 9, так как рассматриваемый вариант является частным случаем их комбинации), и при этом не требуется введения дополнительных предположений.

Рассмотрим пропорциональную систему стимулирования (систему стимулирования L-типа [15, 19, 23]) со ставкой оплаты

Е сли функция затрат

Вариант 7. Данный вариант представляет самостоятельный интерес (не только в контексте настоящего исследования) по следующим причинам. Как отмечалось выше, целевая функция, записанная в виде стимулирование минус затраты, является частным случаем представления функции полезности.

В теории принятия решений задаче декомпозиции функции полезности посвящено значительное число исследований. Наиболее известна так называемая задача аддитивной представимости , которая заключается в следующем (мы опишем ее на примере рассматриваемой в настоящей работе функции полезности, зависящей от двух переменных - дохода и свободного времени).

Пусть известна функция u (q , t ). Необходимо определить каким требованиям она должна удовлетворять (какими свойствами она должна обладать) для того, чтобы ее можно было представить в виде суммы двух функций полезности, одна из которых зависит только от первой переменной - дохода, а вторая - только от второй переменной - свободного времени, то есть:

Нас в рамках седьмого варианта интересует частный случай задачи аддитивной представимости функции полезности в виде

i .

Для решения этой задачи можно воспользоваться общими результатами, полученными в теории принятия решений (см. ссылки в сноске), однако мы используем специфику задачи стимулирования.

и наоборот.

Запишем формальное определение. Два представления индивидуальных предпочтений (функциями полезности и целевыми функциями) удовлетворяют ЭВП, если:

Поиск классов функций полезности, удовлетворяющих приведенному выше условию, представляет собой самостоятельную (и достаточно сложную) математическую задачу. Мы воспользуемся тем, что возможна следующая цепочка переходов между различными представлениями: I —> III —> IV (см. варианты 9 и 5, а также рисунок 22 ниже). Для осуществления указанной последовательности переходов достаточно, например, выполнения условия 4 (см. описание варианта 5 выше).

Таким образом, для определения целевой функции по известной функции полезности необходимо произвести следующую цепочку действий. Первое - вычислить по известной функции полезности u (q , t ) зависимость т( а) (см. вариант 9). Второе -п о известной функции т(а) определить зависимость а(т) (см. вариант 5). Если т( а) - непрерывная строго монотонная функция (условие 4), то функция затрат вычисляется в соответствии с (7)-(9).

с учетом

может рассматриваться как частный (аддитивный) случай функции полезности u (q , t ), то есть имеет место:

Следовательно, по заданной целевой функции всегда можно формально построить функцию полезности (понятно, что при этом они будут также эквивалентны по внешнему поведению).

Вариант 9. При известной функции полезности зависимость желательной продолжительности рабочего времени от ставки оплаты определяется следующим образом - она будет равна такому значению продолжительности рабочего времени, которое максимизирует полезность при заданной системе оплаты, то есть:

В более общем случае (то есть при нелинейной зависимости вознаграждения от числа отработанных часов) имеет место:

Никаких дополнительных условий рассматриваемый переход не требует.

Вариант 10. По заданной зависимости т( а) желательной продолжительности рабочего времени от ставки оплаты восстановить функцию полезности в общем случае нельзя (см. также вариант 2). Действительно, однозначное восстановление функции двух переменных по параметрически заданному множеству точек ее максимума невозможно.

Вариант 11. В рамках данного варианта вопрос стоит об определении функции затрат с( т) по информации о функции а(т) -зависимости минимальной ставки почасовой оплаты от требуемой продолжительности рабочего времени.

Вычислим функцию затрат следующим образом (ср. с (6)):

тогда с точки зрения внешнего поведения описания II и IV эквивалентны.

Е сли использовать эти минимальные затраты на стимулирование в качестве функции затрат, входящей аддитивно в целевую функцию в представлении IV, то получим, что и в этом случае это действие можно реализовать квазикомпенсаторной системой стимулирования или в рамках гипотезы благожелательности - компенсаторной системой стимулирования.

Однако, при таком переходе, как и в выражении (6) варианта 5, вычисляются "неминимальные " затраты на стимулирование. Более корректным является использование условия (7), которое (в предположении с(0) = 0) дает

то есть именно выражение (13)

характеризует минимальные затраты на стимулирование.

Вариант 12. Восстановление зависимости а( т) по известной целевой функции возможно не всегда. Качественно, проблема состоит в том, что в целевую функцию входит переменная система стимулирования. Для того, чтобы получить действительно минимальную ставку оплаты, побуждающей агента отработать заданное число часов, необходимо использовать минимальную систему стимулирования, реализующей соответствующее действие. Как известно из предшествующего изложения (см. раздел 1.1), минимальной является компенсаторная система стимулирования.

Перейдем к формальному описанию. Из выражений (5) и (6) следует, что ставка оплаты может быть определена как отношение дохода (стимулирования) к продолжительности рабочего времени:

Доход агента определяется значением функции стимулирования. Покажем, что, использование выражения (14) позволяет обоснованно говорить об эквивалентности описаний II и IV по внешнему поведению.

Пусть в рамках описания IV некоторая система стимулирования о реализует действие т. Тогда имеет место:

агент согласится отработать % часов. Следовательно, действие % реализуемо и в рамках описания П.

Однако, следует помнить, что по определению о с{ т) - минимальная ставка оплаты, за которую агент согласен отработать заданное число часов. Минимум значения а, как следует из (14), достигается при минимальной величине стимулирования, которое, в свою очередь, ограничено снизу затратами агента (см. выражение (15)). Поэтому для корректного определения ставки оплаты следует положить о( т) = с(т). Этому условию удовлетворяет компенсаторная система стимулирования. Значит, рассматриваемый переход возможен, если выполнено условие 12: центр использует компенсаторную систему стимулирования.

Итак, мы рассмотрели двенадцать вариантов перехода от одних представлений индивидуальных предпочтений к другим. Описание каждого из вариантов производилось конструктивно, то есть указывались алгоритмы вычислений и условия, при которых рассматриваемые переходы возможны. Рассмотрим теперь всю совокупность приведенных в настоящем разделе результатов в целом.

Таблица 1 содержит сводку результатов исследования эквивалентности различных описаний. Столбцы и строки соответствуют различным описаниям. На пересечении строки и столбца стоят символы, отображающие отношение между описаниями: символ <- означает, что описания эквивалентны (в том числе, каждое описание эквивалентно самому себе) в оговоренном выше смысле; символ J означает, что из описания, соответствующего столбцу, можно получить описание, соответствующее строке, символ /1 означает, что из описания, соответствующего столбцу, нельзя получить описание, соответствующее строке. Кроме того, в ячейках таблицы указаны номера вариантов (см. рисунок 21 и описание вариантов выше) и номера условий, достаточных для возможности осуществления перехода (если номер условия отсутствует, то это означает, что переход возможен всегда).

Представим результат таблицы 1 в виде графа, приведенного на рисунке 22. Вершины графа соответствуют различным представлениям индивидуальных предпочтений. От одной вершины проведена дуга к другой, если на основании информации о первом описании может быть получено второе описание. Жирными дугами выделены отношения между описаниями, переход между которыми не требует дополнительных условий. У тонких дуг, соответствующих допустимым переходам, для осуществления которых требуется введение дополнительных предположений, указаны номера этих предположений (достаточных условий, формулировки которых приведены выше). Число, стоящее у тонкой дуги обозначает номер условия.

Граф, представленный на рисунке 22, наглядно иллюстрирует не только взаимозависимость между описаниями, но и такие характеристики системы из четырех различных описаний как непротиворечивость причинно-следственных связей и др. Также он может помочь ответить на вопрос о том, какие качественные выводы о полноте данных можно сделать на основании той информации, которая имеется у исследователя.

Итак, мы рассмотрели взаимосвязь между теоретико-игровыми моделями стимулирования и макроэкономическими моделями предложения на рынке труда. Проведенный анализ позволил не только провести содержательные аналогии, но и установить ряд количественных соотношений между параметрами этих двух классов моделей.

В контексте нашего исследования важный качественный вывод, который можно сделать - это то, что изучение моделей индивидуального поведения на рынке труда (точнее говоря -в ыявление индивидуальных стратегий предложения труда, то есть зависимости желательной продолжительности рабочего времени от ставки оплаты и определение на основе этой информации свойств функции полезности) позволяет найти функцию затрат, которая является существенной компонентой теоретико-игровой модели. Значит, для того, чтобы идентифицировать функцию затрат, необходимо знать функцию индивидуальной полезности или более частные зависимости (см. выше), определяющие поведение агента на рынке труда. Следовательно, возникает вопрос - а как на практике определять функцию полезности, целевую функцию, функцию затрат и т.д.? Описание результатов исследования этого вопроса приводится во второй части настоящей работы.