интересно
Предыдущая | Содержание | Следующая

Равновесия Курно, Бертрана и Штакельберга как частные случаи равновесия Нэша

Равновесия классических моделей дуополии могут быть переинтерпретированы в терминах теории игр, а их исходы могут быть представлены как особые случаи равновесия Нэша. Известно несколько различных вариантов такой переинтерпретации, подробное изложение которых выходит за рамки данного курса. Все же приведем некоторые из них.

Начнем с одной простой переинтерпретации модели дуополии Курно. Допустим, что дуополист 1 выбирает свой прибылемаксимизи-рующий выпуск исходя из некоего своего представления о стратегии дуополиста 2. Эти представления дуополиста 1 о стратегии дуополис-та 2 служат основой для представления дуополистом 2 стратегии дуополиста 1 и т. д. Таким образом, дуополист 1 думает о размышлениях дуополиста 2 примерно так: Я думаю, что он думает, что я думаю, что он думает, что я думаю, что.... Исходя из подобных бесконечных обратных рассуждений, каждый дуополист выбирает свою величину выпуска. Как показал Э. Догерти, результатом такой игры стратегий является равновесие Курно—Нэша.

Покажем теперь несколько подробнее одну из переинтерпретаций модели Бертрана для случая неоднородной дуополии. Если дуо-полисты 1 и 2 выбирают для своих товаров цены, спрос на продукцию /-го дуополиста (f — 1, 2) будет

, т. е. возможна в принципе любая неотрицательная цена. Под функцией выигрыша будем, естественно, понимать функцию прибыли. Если фирма i выберет цену р, для своей продукции, а ее соперник цену р_, для своей, то прибыль t-ro дуополиста составит

, будет решением следующей максимизационной задачи:

были неотрицательны, необходимо выполнение требования Ь < 2

Модель дуополии Штакельберга, рассмотренная в разделе 11.2.1.3, как и модель Курно, предполагает выбор дуополистами величины выпуска, но не одновременно (как в модели Курно), а последовательно. В этом смысле ее можно интерпретировать как динамическую игру.

Основная проблема динамических игр — доверяемостъ (англ. credibility). Пояснить ее содержание поможет так называемая Игра с гранатой (англ. grenade game), в которой выделяются две стадии (или два этапа). Сначала игрок 1 выбирает между тем, дать ли игроку 2 тысячу долларов или не давать. А затем игрок 2 видит действие игрока 1 и решает, взорвать ли ему или не взорвать гранату, жертвами которой станут оба игрока.

Допустим теперь, что некий вымогатель-террорист (игрок 2) требует у намеченной им жертвы (игрока 1) тысячу долларов, угрожая гранатой. Если игрок 1 считает угрозу правдоподобной, его наилучший ответ — отдать вымогателю спрашиваемую им сумму. Но игрок 1 может не поверить в реальность угрозы, он может счесть ее неправдоподобной: ведь если, дать игроку 2 возможность реализовать угрозу, тот, оберегая свою жизнь, вероятно, откажется от ее реализации, а следовательно, игрок 1 ничего и не должен ему отдавать.

Игра с гранатой относится к классу игр с полной и совершенной информацией. Основные особенности динамических игр такого рода заключаются в следующем. Во-первых, действия игроков осуществляются последовательно, во-вторых, все предыдущие их действия наблюдаемы до выбора следующего хода в игре, наконец, в-третьих, выигрыши от каждой возможной комбинации действий (или ходов) общеизвестны. Игры такого рода решаются посредством обратной индукции (англ. backward induction). Когда игрок 2 должен делать свой ход на второй стадии игры, он сталкивается с задачей максимизации своего выигрыша р2, зная предыдущий ход партнера по игре а^А^, где А1 — доступное игроку 1 множество действий, т. е.

Допустим, что для каждого а1 еА1 задача (ПА.12) имеет единственное решение и обозначим его R2(al)  Это и есть наилучший ответ, или реакция игрока 2 на ход игрока 1. Поскольку игрок 1 может решить задачу игрока 2 точно так же, как и тот сам, игрок 1 предвосхищает ответ игрока 2 на каждый ход а1, который тот может сделать, задача игрока 1 на первой стадии состоит в том, чтобы

Допустим, что и эта задача имеет единственное решение, которое обозначим а. Результатом игры на основе обратной индукции будет тогда

Этот результат не включает неправдоподобной угрозы в Игре с гранатой. Игрок 1 предвосхитит, что игрок 2 будет реагировать оптимально на любое действие аг, которое он может совершить, играя i?2(ai) • Поэтому игрок 1 не поверит угрозе игрока 2, т. е. в то, что тот будет действовать не в своих собственных интересах, когда настанет вторая стадия игры.

с — неизменные предельные затраты.

Чтобы определить исход игры на основе обратной индукции, сначала найдем наилучший ответ дуополиста 2 на произвольный выпуск дуополиста 1. i?2(9i) является решением задачи

Поскольку дуополист 1 может решить задачу, стоящую перед дуополистом 2 так же, как и тот сам, он может предвосхитить выпуск 9j , который вызовет ответ R2(Qi) • Поэтому задача дуополиста 1 на первой стадии игры состоит в том, чтобы приравнять

что и есть исход дуопольной игры Штакельберга на основе обратной индукции.

Обратите внимание, что в знаменателе (11А.15) в отличие от (11.46) и (11.47) отсутствует множитель Ь. Это связано с тем, что здесь для упрощения в линейной функции спроса (11.6) Ъ = 1. Если же в функции рыночного спроса Р = a-bQ положить Ь * 1 и сопоставить (11.13) с (11.46) и (11.47), то станет очевидным, что равновесный выпуск Курно больше равновесного выпуска последователя Штакельберга, но меньше выпуска лидера. Действительно,

  i

То, что положение дуополиста 2 в модели Штакельберга хуже, чем в модели Курно, иллюстрирует важное отличие в принятии решений одним и несколькими субъектами. В теории принятия единоличных решений обладание большей информацией не может ухудшить положения принимающего решения. В теории игр — а это и есть теория взаимозависимых межличностных (англ. interactive) решений — обладание большей информацией (точнее, знание другими игроками того, что некий игрок обладает большей информацией) может ухудшить положение принимающего решения субъекта.11

, и, следовательно, соотношение равновес-

  , то лучшее положение дуополиста 1 означает, что положение дуополиста 2 будет хуже в игре Штакельберга, чем в игре Курно.

В игре Штакельберга основной информационный вопрос связан с величиной выпуска дуополиста 1 (<?,). Дуополист 2 знает значение qt и, что существенно, дуополист 1 знает, что дуополист 2 знает величину <?1. Чтобы понять значение этой информированности дуополиста 1, рассмотрим модифицированную игру с последовательными ходами, в которой дуополист 1 сначала выбирает выпуск qx , после чего дуополист 2 выбирает свой выпуск q2 , не зная при этом величины qt .

т. е. равновесие Курно—Нэша в игре с

одновременными ходами.