интересно
Предыдущая | Содержание | Следующая

Фирма как институт рациональной экономической деятельности

При формальной постановке задачи математического программирования основными являются понятия инструментальных переменных, допустимого множества и целевой функции.

которые называются здесь инструментами. Записанные в виде вектора-столбца

они составляют вектор инструментальных переменных в n-мерном евклидовом пространстве En.

Термин инструменты заимствован из книги Я. Тинбергена Теория экономической политики, автор которой отмечал, что орган, регулирующий народное хозяйство, может пользоваться различными средствами – инструментами (процентной ставкой, тарифами и т.п.) – для достижения определенных целей (сокращение безработицы, выравнивание платежного баланса и т.п.).

Если вектор инструментальных переменных x удовлетворяет ограничениям задачи, он называется допустимым, а множество всех допустимых векторов образует множество возможностей X. Такое множество является подмножеством Еn. Так как задача заключается в выборе вектора инструментальных переменных из допустимого множества, то в любой нетривиальной задаче (т.е. система ограничений совместна) оно является непустым и содержит, по крайней мере, две различные точки елевая функция – это краткое математическое изложение цели данной задачи. Обычно она представляет собой действительную непрерывно дифференцируемую функцию вектора инструментальных переменных

Общая задача математического программирования состоит в выборе вектора инструментальных переменных из множества возможностей, максимизирующего значение целевой функции:

где X – подмножество n-мерного евклидова пространства.

Учитывая, что максимизацияF(x) эквивалентна максимизации

можно сделать вывод, что введение дополнительного

слагаемого или положительного множителя в целевую функцию не изменяет задачи, в то время как отрицательный множитель может быть использован для преобразования задачи максимизации в задачу минимизации и наоборот (например, с помощью умножения F(x) на –1).

Выделяются три основных вида общей задачи математического программирования: классическая задача математического программирования, задача нелинейного программирования и задача линейного программирования.

В классической задаче математического программирования все ограничения представляют собой равенства

– известные непрерывно дифференцируемые функции, называемые

– заданные действительные числа, называемые кон-

стантами ограничений.

В векторной форме система ограничений записывается в виде

– m-мерные векторы-столбцы

Задача классического программирования заключается в максимизации целевой функции при заданных ограничениях:

В нелинейном программировании система ограничений состоит из условий двух типов: условий неотрицательности

и ограничений в виде неравенств

В этой записи предполагается, что функцииограничений

как и раньше,

заданные действительные числа, а 0 – вектор-столбец, состоящий из нулей. Вектор x, заданный условиями (3), является неотрицательным.

Задача нелинейного программирования заключается в нахождении неотрицательных значений переменных, удовлетворяющих условиям (2) и максимизирующих заданную функцию:

Наибольшее распространение в практике управления экономическими объектами имеют линейные модели. Хотя среди задач поиска оптимального решения линейные задачи занимают малое место. Основанием этому служат два основных момента.

Во-первых, большинство процессов в экономике имеют линейную природу и, следовательно, хорошо описываются линейными функциями. Исключением являются лишь накопление процентов на банковском счете и основанные на этом экспоненциальные процессы. Но это лишь небольшая часть из экономических проблем управления.

Во-вторых, математическая постановка задачи линейной оптимизации хорошо изучена и не представляет научных проблем.

В линейном программировании целевая функция является линейной формой

где c – заданный вектор-строка констант

и имеются ограничения двух типов: условия неотрицательности

и ограничения в виде неравенств

где А – заданная матрица размерности m × n

Таким образом, задача линейного программирования заключается в нахождении неотрицательных значений переменных, удовлетворяющих ограничениям (5) и максимизирующих заданную линейную форму:

Следовательно, задача линейного программирования является частным случаем задачи нелинейного программирования, в которой целевая функция и функции ограничений линейны.

Динамическая задача оптимизации. Статической задачей рационального ведения хозяйства (рациональной экономической деятельности) мы называли ранее задачу распределения ограниченных ресурсов для достижения комплекса конкурирующих целей в некоторый определенный момент времени. Говоря языком математики, задача состоит в выборе из заданного допустимого множества значений ряда переменных, называемых средствами (инструментами) таких значений, при которых достигается максимум заданной целевой функции. Представленная в такой форме задача была названа нами задачей математического программирования.

Динамическая задача рационального ведения хозяйства – это задача распределения ограниченных ресурсов для достижения комплекса конкурирующих целей на протяжении некоторого промежутка времени от начального момента до конечного. Сформулируем эту задачу в математических терминах. Рассмотрим некоторые переменные величины, называемые управляющими параметрами. Задано некоторое множество функций времени, называемое множеством управления. Задача состоит в выборе управляющих параметров как функций времени, принадлежащих множеству управлений. Выбранные функции времени в свою очередь определяют, какой вид имеют функции времени некоторых других переменных, с помощью которых описывается поведение системы. Эти переменные называются фазовыми координатами. Значения фазовых координат в каждый момент времени выбираются таким образом, чтобы максимизировать заданный целевой функционал, зависящий от фазовых координат и управляющих параметров (и те и другие рассматриваются как функции времени). Функции времени для управляющих параметров и для фазовых координат связаны с помощью системы дифференциальных уравнений, называемых уравнениями движения. Задача, представленная в указанной форме, называется задачей управления.

При строгой формулировке задачи управления используются следующие понятия: время (момент времени), фазовые координаты, управляющие параметры, уравнения движения, определение конечного момента, целевой функционал.

Время t измеряется как непрерывная величина. Предполагается, что t изменяется в некотором фиксированном промежутке: от начального момента t0, который обычно известен, до конечного момента t1, который часто требуется определить. Следовательно, время задано на промежутке

называемых фазовыми координатами. Составленный из

фазовых координат n-мерный вектор-столбец

называемый фазовым вектором (фазовой точкой), можно геометрически интерпретировать как точку в n-мерном евклидовом пространстве Еn.

Каждая фазовая координата считается непрерывной функцией времени, поэтому фазовая траектория

представляет собой непрерывную вектор-функцию времени, значениями которой в каждый данный момент времени t из указанного промежутка являются фазовые векторы (6).

С геометрической точки зрения фазовая траектория представляет собой некоторую кривую, состоящую из точек пространства Еn. Началом этой кривой является фиксированное начальное состояние

а окончание – конечное состояние x(t1) = x1, которое во многих задачах требуется определить.

Выборы (решения), которые нужно осуществлять в каждый данный момент времени t из указанного интервала, характеризуются с помощью r вещественных чисел u1(t), u2(t), ..., ur(t), называемых управляющими параметрами. Составленный из управляющих параметров

r-мерный вектор-столбец

называемый управляющим вектором, можно интерпретировать геометрически как точку в Еn. Управлением (траекторией управления) называется функция

Требуется, чтобы каждый управляющий параметр являлся кусочно-непрерывной функцией времени. Поэтому управление представляет собой кусочно-непрерывную функцию времени. Значениями этой функции в каждый данный момент времени t из указанного промежутка являются управляющие векторы (8). С геометрической точки зрения управление представляет собой некоторую кривую, состоящую из точек пространства, причем эта кривая непрерывна всюду, за исключением, возможно, некоторого конечного числа точек разрывов первого рода.

Предполагается, что возможные значения управляющих параметров удовлетворяют некоторым ограничениям. Эти ограничения в общей форме состоят в том, что управляющий вектор в каждый момент времени из интервала t0 ≤ t ≤ t1 должен принадлежать некоторому фиксированному непустому подмножеству Ω r-мерного евклидова пространства

значения которых в любой момент из указанного промежутка принадлежат Ω. Управление должно принадлежать указанному множеству управлений, т.е.

определяется из уравнений движения, т.е. из системы дифференциальных

уравнений, в которых скорость изменения каждой фазовой координаты

представлена в виде функции фазовых координат, управляющих параметров и времени или в развернутом виде

является непрерывно

дифференцируемой. Если дифференциальные уравнения (10) не зависят явно от времени, то уравнения движения называются автономными.

Фазовая траектория, найденная в результате решения уравнений движения при данном начальном состоянии с использованием допустимого управления, называется допустимой, а любая фазовая точка на фазовой траектории, которую можно достичь за конечное время, называется достижимой.

Конечный момент времени t1 определяется условием

, называемое конечной поверхностью.

Важными частными случаями задачи управления являются задача с фиксированным временем, когда конечный момент времени t1 задан в явной форме как параметр задачи, и задача с закрепленным концом, когда x(t1) задан в явной форме как вектор параметров задачи.

Целевой функционал, максимум которого требуется найти, представляет собой отображение управлений (функций времени) на точки вещественной прямой. Этот функционал будет рассматриваться, как правило, в следующей форме:

Подынтегральная функция I(…) показывает, что функционал зависит от фазовых координат и управляющих параметров, являющихся функциями времени, и от времени, т.е.

Второе слагаемое F(…) в выражении для функционала, которое мы назовем функцией конечных параметров, показывает, что функционал зависит от конечного состояния и от конечного момента времени:

Задачу с целевым функционалом такого вида, как в (11), обычно называют задачей Больца. Если функция конечных параметров тождественно равна нулю, так что

то такую задачу называют задачей Лагранжа.

Задачу, в которой подынтегральная функция тождественно равна нулю, так что

называют обычно задачей Майера.

Может показаться, что задача Больца является более общей, нежели задача Лагранжа или задача Майера, однако на самом деле все три задачи эквивалентны, что можно доказать с помощью соответствующих преобразований переменных.

Итак, общая задача управления состоит в следующем: требуется найти

Геометрическая интерпретация заключается в том, что из множества допустимых фазовых траекторий, начало которых соответствует заданному начальному состоянию х0 в начальный момент времени t0, требуется выбрать определенную фазовую траекторию, при этом необходимо учитывать, что каждая допустимая фазовая траектория осуществляется при использовании некоторого допустимого управления {u(t)}. Оптимальной траекторией {x*(t)} является такая допустимая фазовая траектория, заканчивающаяся на конечной поверхности, на которой достигается максимум целевого функционала.

Задачу управления можно считать задачей математического программирования в бесконечномерном пространстве. Рассмотрим следующую задачу управления:

Эта задача отличается от (14) следующими своими свойствами: она автономна, т.е. уравнения движения и целевой функционал не зависят явно от времени; данная задача относится к классу задач Лагранжа, так как целевой функционал не зависит от конечного состояния или от конечного момента времени; эта задача с фиксированным временем, так как t1 задано, a x(t1) произвольно; задача содержит только один управляющий параметр и одну фазовую координату.

/ N.

). Состояния и управления замеряются в отмеченные дискретные моменты времени

– фиксированный положительный параметр.

Пределом целевой функции этой задачи при N, стремящемся к бесконечности, и ∆, стремящемся к 0, и при фиксированной величине N∆, равной (t1 – t0), является целевой функционал задачи (15), т.е.

уравнения в (16) превращаются в дифференциальные уравнения задачи (15). Таким образом, задачу управления можно считать задачей математического программирования в бесконечномерном пространстве. Этим пространством является множество всех кусочно-непрерывных вещественных функций u(t), определенных на промежутке t0 ≤ t ≤ t1.

Основная теорема математического программирования – теорема Вейерштрасса, указывает условия, достаточные для существования максимума. Эти условия состоят в том, что целевая функция должна быть непрерывной, а допустимое множество – компактным. Обобщая эту теорему на случай бесконечномерного пространства, можно получить основную теорему существования для задач управления – обобщенную теорему Вейерштрасса. Согласно этой теореме, решение общей задачи управления (14) существует, если целевой функционал J{u(t)} является непрерывным функционалом от функций управления и если подмножество U бесконечномерного пространства, к которому принадлежат управления, является компактным. Важным частным случаем, когда решения существуют, является задача, в которой функции J(…) и f(…) линейно зависят от u.

Динамическое программирование является одним из двух современных направлений в теории задач управления. Метод динамического программирования может применяться непосредственно при решении общей задачи управления:

Сущность подхода динамического программирования состоит в следующем: данная конкретная задача управления погружается в более широкий класс задач, которые характеризуются рядом параметров; затем с помощью центрального принципа – принципа оптимальности – определяется основное рекуррентное соотношение, связывающее задачи из этого класса. Если выполнены некоторые дополнительные предположения относительно гладкости участвующих в рассмотрении функций, то из главного рекуррентного соотношения вытекает основное дифференциальное уравнение в частных производных – уравнение Беллмана, – решая которое можно найти решение вышеупомянутого широкого класса задач. Вслед за этим, как частный случай, определяется и решение данной конкретной задачи.

Использование теории игр в практике управления. В последние годы значение теории игр существенно возросло во многих областях экономических и социальных наук. В экономике она применима не только для решения общехозяйственных задач, но и для анализа стратегических проблем предприятий, разработок организационных структур и систем стимулирования.

Уже в момент ее зарождения, которым считают публикацию в 1944 г. монографии Дж. Неймана и О. Моргенштерна Теория игр и экономическое поведение, многие предсказали революцию в экономических науках благодаря использованию нового подхода. Эти прогнозы нельзя было считать излишне смелыми, так как с самого начала данная теория претендовала на описание рационального поведения при принятии решений во взаимосвязанных ситуациях, что характерно для большинства актуальных проблем в экономических и социальных науках. Такие тематические области, как стратегическое поведение, конкуренция, кооперация, риск и неопределенность, являются ключевыми в теории игр и непосредственно связаны с управленческими задачами.

Первые работы по теории игр отличались упрощенностью предположений и высокой степенью формальной абстракции, что делало их малопригодными для практического использования. За последние

10 – 15 лет положение резко изменилось. Бурный прогресс в промышленной экономике показал плодотворность методов игр в прикладной сфере.

В последнее время эти методы проникли и в управленческую практику. Вполне вероятно, что теория игр наряду с теориями трансакционных издержек и патрон – агент будет восприниматься как наиболее экономически обоснованный элемент теории организации. Следует отметить, что уже в 1980-х гг. М. Портер ввел в обиход некоторые ключевые понятия теории, в частности такие, как стратегический ход и игрок. Правда, эксплицитный анализ, связанный с концепцией равновесия, в этом случае еще отсутствовал.

Основные положения теории игр. Чтобы описать игру, необходимо сначала выявить ее участников. Здесь не всегда просто распознать всех игроков, т.е. действующих или потенциальных конкурентов. Практика показывает, что не обязательно идентифицировать всех игроков, надо обнаружить наиболее важных.

Игры охватывают, как правило, несколько периодов, в течение которых игроки предпринимают последовательные или одновременные действия. Эти действия обозначаются термином ход. Действия могут быть связаны с ценами, объемами продаж, затратами на научные исследования и разработки и т.д. Периоды, в течение которых игроки делают свои ходы, называются этапами игры. Выбранные на каждом этапе ходы в конечном счете определяют платежи (выигрыш или убыток) каждого игрока, которые могут выражаться в материальных ценностях или деньгах (преимущественно дисконтированная прибыль).

Еще одним основным понятием данной теории является стратегия игрока. Под ней понимаются возможные действия, позволяющие игроку на каждом этапе игры выбирать из определенного количества альтернативных вариантов такой ход, который представляется ему лучшим ответом на действия других игроков. Относительно концепции стратегии следует заметить, что игрок определяет свои действия не только для этапов, которых фактически достигла конкретная игра, но и для всех ситуаций, включая и те, которые могут и не возникнуть в ходе данной игры.

Важна и форма представления игры. Обычно выделяют нормальную, или матричную, форму и развернутую, заданную в виде дерева.

Применение теории игр для принятия стратегических управленческих решений. В качестве примеров здесь можно назвать решения по поводу проведения принципиальной ценовой политики, вступления на новые рынки, кооперации и создания совместных предприятий, определения лидеров и исполнителей в области инноваций, вертикальной интеграции и т.д. Положения данной теории в принципе можно использовать для всех видов решений, если на их принятие влияют другие действующие лица. Этими лицами, или игроками, необязательно должны быть рыночные конкуренты; в их роли могут выступать субпоставщики, ведущие клиенты, сотрудники организаций, а также коллеги по работе.

Инструментарий теории игр особенно целесообразно применять, когда между участниками процесса существуют важные зависимости в области платежей.

Компаниям полезно в эксплицитном виде обдумывать возможные реакции партнеров по игре. Изолированные хозяйственные расчеты, даже опирающиеся на теорию принятия решений, часто носят, как в изложенной ситуации, ограниченный характер. К числу известных областей применения методов теории игр следует отнести также ценовую стратегию, соперничество компаний в области технологического лидерства, создание совместных предприятий, расчет времени разработки новой продукции.