интересно
Предыдущая | Содержание | Следующая

Ортогональное планирование второго порядка: поиск экстремальных точек с помощью модели

В окрестности оптимума линейного приближения уже недостаточно, доминирующими становятся коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия. Уменьшение шага при сохранении линейного приближения также неэффективно из-за большого влияния помех. Обычно окрестность экстремума, которую называю1* почти стационарной областью, удается описать полиномами 2-га порядка. Для этого нужно иметь такую систему планирования, в шторой каждая переменная будет принимать хотя бы три разных значения. Такое планирование может быть получено путем добавления некоторого количества специально расположенных точек к ядру! образованному планированием для линейного приближения. Такие планы называют композиционными, а само планирование - центральным композиционным планированием (ЦКП).

Рассмотрим случай, когда число независимых переменных к = 2 при полном факторном эксперименте, а количество результатов наблюдений N*4. Нужно построить уравнение регрессии

Как минимум, необходимы еще две точки для определения всех шести коэффициентов регрессии. Для увеличения общего числа точек вводят так называемые звездные точки (рис. 7.7), по две для каждой переменной (±сс, 0), (0, ± а) и используют центральную точку (0,0). Общее число точек будет равно 9. Такой метод построения точек распространяется и на общий случай к точек. Общее число точек будет равно #„„, = 2* + 2к + 1 (к = 3, N^ = 15, вершины куба -8 и 6 звездных точек). Если просто для каждой переменной задавать три уровня, то потребовалось бы 3* точек. ЦКП требует меньшего числа опытов по сравнению с 3*, особенно преимущество ЦКП проявляется с ростом к:

Возникает вопрос, как оптимальным образом выбрать величину плеча звездных точек. При линейном приближении, когда использовался факторный эксперимент, получалось ортогональное планирование, и дисперсии всех Ь, были минимальны и равны друг другу. В этом состояла оптимальность планирования. .Попытаемся добиться этих же условий для описания почти стационарной области.

Обеспечение ортогональности планирования. 6 общем случае матрица точек ЦКП не обеспечивает ортогональности всех векторов-столбцов. Так,

не могут, быть все равны нулю. Очевидно также, что

Чтобы получить ортогональность, нужно произвести некоторые преобразования квадратичных переменных и специальным образом выбрать величину звездного плеча а. Введем преобразование

Тогда будут равны нулю скалярные произведения

Неортогрнальными останутся векторы-столбцы для квадратичных членов

[XX], то в ней ряд недиагональных элементов, а именно элементов для квадратичных переменных, не будет равен нулю (для ортогонального планирования только диагональные элементы будут иметь значение, не равное нулю). При этом, так как все звездные точки выражаются через один и тот же параметр а, все недиагональные элементы матрицы, не равные нулю, оказываются равны между собой. Поэтому, приравнивая нулю выражение для недиагонального элемента, однозначно получим значение а, которое обеспечит ортогональность планирования. Значения а в функции числа независимых переменных к представлены в табл. 7.4.

Нетрудно убедиться, что все векторы-столбцы матрицы (табл. 7.5) ортогональны. Существующая до преобразований ортогональность не нарушилась, например

Видно, что удовлетворяется условие (7.3):

Регрессионный анализ ортогонального планирования второго порядка. После проведения эксперимента в силу ортогональности планирования все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга. Так как

то из формулы (7.7) получаем

где т - порядковый номер столбца;

- элементы соответствующего столбца.

Определяем дисперсию

Для факторного эксперимента мы бы имели

для любого т. В данном случае

Например, для к = 3 основные соотношения примут следующий вид:

для ортогонального планирования незначительно сложнее, чем при факторном эксперименте.

Уравнение регрессии после преобразования квадратичной переменной запишется в форме

для обычной формы записи -

Очевидно,

При этом коэффициент йо оценивается с дисперсией

Выражение (7.24) следует из известной теоремы теории вероятностей (закон накопления ошибок):

Необходимо отметить, что ортогональное планирование не обеспечивает равенства дисперсий ft, (см. формулу (7.19)).

Выводы

1. Ортогональное планирование эксперимента (по сравнению с неортогональным) уменьшает число опытов и существенно упрощает расчеты при получении уравнения регрессии. Однако такое планирование осуществимо только при возможности проведения активного эксперимента.

Практичным средством отыскания экстремума является факторный эксперимент. Основные достоинства факторного эксперимента - простота и возможность отыскания экстремальной точки (с какой-то погрешностью), если неизвестная поверхность достаточно гладкая и нет локальных экстремумов. Следует отметить два основных недостатка факторного эксперимента. Первый заключается в невозможности поиска экстремума при наличии ступенчатых разрывов неизвестной поверхности и локальных экстремумов. Второй -в отсутствии средств описания характера поверхности вблизи экстремальной точки из-за использования простейших линейных уравнений регрессии, что сказывается на инертности системы управления, так как в процессе управления необходимо проводить факторные эксперименты для выбора управляющих воздействий.

Для целей управления наиболее подходит ортогональное планирование второго порядка. Обычно эксперимент состоит из двух этапов. Сначала с помощью факторного эксперимента отыскивается область, где существует экстремальная точка. Затем в районе существования экстремальной точки проводится эксперимент дляполучения уравнения регрессии 2-го порядка.

Уравнение регрессии 2-го порядка позволяет сразу определять управляющие воздействия, без проведения дополнительных опытов или экспериментов. Дополнительный эксперимент потребуется только в случаях, когда поверхность отклика существенно изменится под воздействием неконтролируемых внешних факторов (например, существенное изменение налоговой политики в стране серьезным образом повлияет на поверхность отклика, отображающую производственные затраты предприятия).