интересно
Предыдущая | Содержание | Следующая

Факторный эксперимент и метод крутого восхождения

Одной из основных идей планирования эксперимента является выбор экспериментальных точек. Факторный эксперимент обеспечивает наиболее удобный для описания процесса выбор точек факторного пространства, при этом обеспечивается и свойство ортогональности. Факторный эксперимент применяется в тех случаях, когда неизвестная поверхность достаточно гладкая и не имеет многочисленных локальных экстремумов, например при определении зависимостей от различных факторов свойств химических и физических процессов. Факторный анализ используется и при обработке большого числа экономических данных, собранных органами государственной статистики, если исследуемые свойства экономического процесса достаточно гладко меняются при варьировании отдельных факторов.

При построении полного факторного эксперимента управляющие переменные xt принимают только два возможных значения: +1 или -1. К такой схеме планирования можно свести любой эксперимент. Например, управляющими переменными процесса в химическом реакторе являются давление и температура. Несмотря на очень простое построение плана, полный факторный эксперимент имеет существенный недостаток: с ростом числа факторов к число опытов растет по показательной функции N=2k.

Число опытов факторного эксперимента можно сократить, применяя так называемый дробный факторный эксперимент (дробные реплики от полного факторного эксперимента). Однако уменьшение числа опытов полного факторного эксперимента при сохранении всех его расчетных преимуществ может сопровождаться неприятным явлением взаимного влияния различных эффектов при необоснованном пренебрежении некоторыми взаимодействиями.

Основные преимущества и возможности факторного эксперимента:

очень просто производятся все вычисления;

можно получать математическое ожидание процесса как в форме линейного уравнения, так и с учетом взаимодействий;

все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга, что дает некоторую.возможность рассматривать уравнение регрессии как физическую модель процесса;

все коэффициенты уравнения регрессии определяются с одинаковой и минимальной дисперсией;

применение дробного факторного эксперимента и насыщенного планирования позволяет уменьшать число опытов полного факторного эксперимента;

имеется возможность исключать временной дрейф.

Рассмотрим метод крутого восхождения с применением факторного эксперимента. Определение оптимальных условий протекания экономических, химических, физических и металлургических процессов, или задача определения оптимального состава компонентов системы, всегда решалась чисто интуитивно. При попытке дать строго обоснованные*методы решения этой задачи приходится сталкиваться с большими трудностями. Чтобы найти оптимум, нужно дать описание поверхности отклика в широком интервале варьирования независимых переменных. Адекватное описание таких больших участков поверхности требует очень большого числа опытов.

Для решения этой задачи используется последовательный, пошаговый метод изучения поверхности отклика. Исследователь вначале ставит серию опытов для описания небольшого участка поверхности отклика полиномом 1-го порядка. Далее он двигается по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения. Если одного линейного приближения оказывается недостаточно, то ставится новая небольшая серия опытов и находится новое направление для движения по поверхности отклика. Такой процесс продолжается до тех пор, пока исследователь не попадет в окрестность экстремума. Если требуется более точно определить положение оптимума, то ставится большая серия опытов, и поверхность отклика описывается полиномом 2-го, а иногда даже 3-го порядка. При таком подходе к задаче достигается весьма высокая концентрация опытов в той части поверхности отклика, которая преимущественно интересует исследователя.

Градиент функции отклика может быть задан выражением

факторного пространства.

Движение в направлении градиента - это движение по кратчайшему, наиболее крутому пути; отсюда название крутое восхождение (если отыскивается максимум функции) или наискорейший спуск (минимум функции).

Здесь следует отметить несколько разновидностей движения по поверхности отклика. Если бывает затруднительно определить градиент, используют метод Гаусса-Зейделя. По этому методу производится поочередное изменение каждого параметра в направлении оптимума с помощью пробных шагов. Это относительно длинный путь к оптимуму. Сам метод градиента тоже имеет несколько разновидностей. Градиент может вычисляться на основе выполнения одного пробного шага по каждой переменной (для Двух переменных будет использоваться одна центральная точка и две пробных).

Более точно градиент может быть вычислен, если известно линейное приближение поверхности отклика, полученное по числу точек, превышающему число переменных. Боксом и Унисоном предложено определять градиент по линейному приближению поверхности отклика на основе дробного факторного эксперимента. Если градиент рассчитывается заново после каждого шага решения, то это метод градиента. Если же в направлении градиента выполняется несколько шагов до тех пор, пока не перестанем приближаться к оптимуму, то это метод крутого восхождения или наискорейшего спуска.

Рассмотрим метод крутого восхождения при определении градиента по линейному приближению поверхности отклика, полученному на основе факторного эксперимента. На рис. 7.6 нанесены кривые равного уровня поверхности отклика для двух независимых переменных. Если построить нормали к кривым равного уровня, то получим направления градиента. Движение из точки О в направлении ОР - это наиболее крутой путь подъема по поверхности отклика. В направлении ОР исследователь будет двигаться до тех пор, пока не перейдет точку Q. В окрестности точки Q надо будет поставить новую серию опытов и заново найти направление градиента (QM).

Если поверхность отклика локально может быть описана линейным уравнением, то частные производные, очевидно, будут равны коэффициентам уравнения регрессии

на единицу варьирования.

Пример 7.4. Определение состава компонентов сплава. Рассмотрим задачу выбора оптимального состава сплава*. Требуется найти такое соотношение легирующих компонентов, чтобы сплав на основе железа имел максимальное сопротивление на разрыв при температуре 800°С. Железо легировали следующими элементами: Cr, Ni, Mo, V, Nb, Mn, С. Легирующие элементы и уровни варьирования задавались исходя из металловедческих и экономических соображений. Опустим для краткости процесс планирования движения по градиенту, и сразу отметим следующее.

Лучший результат получен в 11-м опыте. Дальнейшее движение по направлению градиента линейного приближения приводит к понижению сопротивления на разрыв. Таким образом, был найден следующий состав стали: Сг 10,4%; Ni 1,2%; Mo 0,66%; V 0,18%; Nb 0,58%; Mn 0,24%; С 0,8% с сопротивлением на разрыву = 11,500 т/см2.

Эксперимент с семью факторами после всего 13 опытов позволил увеличить сопротивление на разрыв более чем в 2,5 раза (11,5/4,5). При обычных традиционных методах исследования решение такой задачи потребовало бы длительных и дорогостоящих усилий. Результаты работы были бы представлены не двумя таблицами, а громоздким отчетом, содержащим десятки таблиц и графиков. При желании полученный результат может быть уточнен, если повторить эксперимент, выбрав полученную точку оптимума в качестве исходной.

В рассмотренном примере имеется достаточно априорных сведений о процессе (состав переменных, величина шага, исходная точка). Если априорных сведений мало, то исследование методом крутого восхождения также эффективно, однако его приходится повторять многократно. Чем меньше данных априори, тем длительнее процесс поиска оптимума.

Основными достоинствами факторного эксперимента являются простота и возможность отыскания экстремальной точки (с какой-то погрешностью), если неизвестная поверхность достаточно гладкая и нет локальных экстремумов.

Основные недостатки факторного эксперимента:

невозможность поиска экстремума при наличии ступенчатых разрывов неизвестной поверхности или локальных эктремумов;

отсутствие средств описания характера поверхности вблизи экстремальной точки, так как используются простейшие линейные уравнения регрессии.