интересно
Предыдущая | Содержание | Следующая

Вычисление коэффициентов регрессии

= 1 и заменим члены второго порядка линейными, положив

Аналогичным образом можно заменить линейными членами члены любого порядка. В новой системе обозначений полином степени d будет записываться как однородное линейное уравнение

Штрих при к в дальнейшем будем опускать.

Чтобы методом наименьших квадратов найти оценки коэффициентов регрессии, нужно минимизировать сумму квадратов отклонений:

- результат измерения выходного параметра при значениях входных

Приравнивая нулю частные производные от квадратичной формы (7.3), по искомым коэффициентам 2>о, Ь,..., Ьк получаем

где/ = 0,1,2, ...,*.

Если ввести обозначения

то выражение (7.4) можно представить следующей системой так называемых нормальных уравнений:

. Для упрощения системы обозначений обратимся к матричной алгебре. Матрицы, с помощью которых представляются результаты наблюдений, будут иметь следующий вид:

Если обозначить транспонированную матрицу X через X*, то матрицы для записи нормальных уравнений могут быть представлены в виде:

В матричной форме система нормальных уравнений запишется следующим образом:

ее элементы

:

Отсюда следует, что интересующие нас коэффициенты регрессии (элементы матрицы В) определяются выражением

Оказывается, что коэффициенты регрессии не могут быть определены независимо друг от друга. Сумма произведений, определяющая /-й коэффициент регрессии, состоит из Л+1 членов, соответствующих Л+1 коэффициенту регрессии. Если мы почему-либо изменим порядок полинома d, то все вычисления нужно будет производить заново. Уменьшить объем вычислений для получения Ь, и обеспечить их независимость можно, если эксперименты планировать по некоторой схеме так, чтобы в матрице планирования X скалярные произведения для всех векторов-столбцов были равны нулю:

При таком планировании, называемом ортогональным, матрица Х*Х станет диагональной, т.е. система нормальных уравнений распадается на к+ независимых уравнений:

Коэффициенты регрессии будут определяться независимо друг от друга:

i

Увеличение или уменьшение членов в уравнении регрессии не будет изменять коэффициенты у остальных членов уравнения.