интересно
Предыдущая | Содержание | Следующая

Приемы математического моделирования и анализа геоповерхностей

В других случаях картографическое изображение удобно представить как поле случайных величин и использовать для его анализа вероятностно-статистические методы.

В принципе почти все разделы математики применимы для обработки и анализа картографического изображения. Проблема лишь в том, чтобы точно подобрать математическую модель и, главное, дать надежное содержательное истолкование результатам моделирования. Достаточно прочно в картографический анализ вошли некоторые разделы численного анализа, многомерной статистики, теории вероятностей и теории информации.

Аппроксимации. Под аппроксимациями в математике понимают замену (приближение) сложныхлййй неизвестных функций другими, более простыми функциями, свойства которых известны. Любую сложную поверхность (поле), изображенную на изолинейной карте, можно аппроксимировать, т.е. приблизительно представить в виде

- некая аппроксимирующая функция;

е - остаток, не поддающийся аппроксимации.

можно далее разложить в ряд, представив урав-

нение поверхности в виде

- компоненты разложения, которые предстоит определить.

В общем случае для этого с аппроксимируемой карты снимают ряд значений, после чего составляют систему уравнений, решаемых совместно по способу наименьших квадратов так, чтобы

Существуют разные способы аппроксимации. Это обычные алгебраические многочлены, ортогональные многочлены Чебышева и Лежандра, которые определенным образом упрощают вычисления, спалйн-функции и др. Не останавливаясь на особенностях математического аппарата, отметим, что во всех случаях задача сводится к тому, чтобы аппроксимирующее уравнение наилучшим образом описывало исходную поверхность, а сумма квадратов отклонений была бы минимальна.

Аппроксимация 1-го порядка (линейное уравнение) дает плоскость, отражающую только общий уклон поверхности, это очень грубое, слишком общее приближение. Поверхность 2-го порядка уже больше похожа на исходную модель, а аппроксимация 3-го порядка (кубическое уравнение) дает достаточно хорошее приближение к исходной поверхности.

Тригонометрические функции позволяют описывать сложные, сильно расчлененные поверхности. Сферические функции применяют, если при вычислениях нельзя пренебречь кривизной земной поверхности. Аппроксимация с помощью двойных рядов Фурье позволяет вводить постепенное усложнение поверхности за счет добавления двухмерных синусоид с разными фазами и амплитудами. Компьютерное моделирование обеспечивает выполнение подобных аппроксимаций для поверхностей любой сложности с помощью уравнений высокого порядка, содержащих порой несколько десятков членов разложения.

В исследовательской практике аппроксимации используют для аналитического описания поверхностей, изображенных на картах, и выполнения с ними различных действий: суммирования, вычитания, интегрирования и дифференцирования; для подсчета объемов тел, ограниченных этими поверхностями; для решения множества других задач. Одно из направлений использования аппроксимаций - это разложение поверхностей на составляющие, что позволяет выделять и анализировать нормальные и аномальные факторы развития и пространственного размещения явлений.

Статистический анализ картографического изображения преследует главным образом три цели:

изучение характеристик и функций распределения явления;

определение формы и тесноты связей между явлениями;

оценку степени влияния отдельных факторов на изучаемое явление и выделение ведущих факторов.

снятых с карты по регулярной сетке точек (систематическая выборка), в случайно расположенных точках (случайная выборка), на ключевых участках (ключевая выборка) или по районам (районированная выборка).

Выборочные данные группируют по интервалам, составляют гистограммы распределений и затем вычисляют различные статистики - количественные показатели, характеризующие пространственное распределение изучаемого явления. Наиболее употребительные показатели - среднеарифметическое, среднее взвешенное арифметическое, среднеквадратичное, дисперсия, вариация и др. Кроме того, с цомощью специальных показателей (критериев согласия) можно оценить соответствие данного конкретного распределения тому иди иному теоретическому закону распределения. Например, установить, согласуется ли эмпирическое распределение высот рельефа с кривой нормального распределения или подчиняется какой-либо иной функции.

Другая типичная исследовательская задача - оценка взаимосвязи между явлениями - решается с помощью хорошо разработанного в математической статистике аппарата теории корреляции. Для этого необходимо иметь выборки по сравниваемым явлениям, показанным на картах разной тематики (например, Д и В). Значения а„ и Ъ, берут в одних и тех же -х точках, т.е. строго скоординированно, и затем строят график поля корреляции.

связь считается

существенной. Коэффициент корреляции рассчитывают по формуле

- выборочные данные, полученные по картам А и В;

- объем выборки (число пар данных);

- значения средних соответственно для а, и Ь,:

Оценку точности вычисления коэффициента корреляции г получают по формуле

из которой видно, что при прочих равных условиях погрешность вычисления коэффициента корреляции всегда уменьшается с увеличением объема выборки. Отсюда следует, что определение объема выборки - важная проблема при расчете коэффициента корреляции, да и вообще при вычислении всех статистических показателей. Достаточно представительной обычно считается выборка объемом 30 -50 значений.

В практике исследования взаимосвязей часто необходимо получить предварительно приблизительную оценку коэффициента корреляции. В простых случаях это можно сделать, используя представление о статистических поверхностях. Доказано, что коэффициент корреляции примерно равен косинусу угла а между направлениями наибольших скатов (градиентов) двух сравниваемых статистических поверхностей: г = cos a.

= 0.

На рис. 6.7 представлены две статистические поверхности и показаны направления их наибольших скатов. Угол между ними оказался равен 36°, тогда г = cos 36° = 0,81. Такие приближенные вычисления особенно удобны при сравнении изолинейных карт.

Для оценки взаимосвязи явлений в случаях, когда трудно или невозможно получить большие выборки, используют показатель ранговый коэффициент корреляции у, который вычисляют по формуле

где- ранги значений, полученных соответственно по картам А и

- объем выборки.

По смыслу коэффициент у аналогичен коэффициенту парной корреляции г, он изменяется в интервале от -1 до +1. При этом не требуется больших объемов выборки, расчеты можно выполнять даже при п = 3. К тому же не нужны точные количественные значения а,иЬ,, достаточно знать их ранги. Все это удобно для работы с картограммами, где используются интервальные шкалы, а объем выборки ограничен числом административных районов.

Аппарат теории корреляции достаточно разнообразен. В нем есть показатели, удобные для анализа взаимосвязей по картам ареалов (где явления характеризуются только двумя состояниями: есть и нет), по картам качественного фона (где каждое явление имеет много состояний, но не охарактеризовано количественно). Существуют коэффициенты для расчета криволинейных зависимостей и связей между тремя явлениями (коэффициенты множественной корреляции) и т.п.

Расчет корреляций дает основу для более сложных видов анализа: регрессионного, дисперсионного, факторного и др. Часто при исследованиях ставится задача выделить основные факторы, определяющие развитие и размещение того или иного явления. Эту задачу решает многомерный факторный анализ. Он позволяет свести к минимуму (к трем-четырем главным факторам) большие совокупности исходных показателей, характеризующих сложное явление. Уравнение факторного анализа имеет вид

- исходные показатели;

- выделенные главные факторы, дающие синтетическую оценку изучаемого явления;

- вес каждого фактора в синтетической оценке (факторная нагрузка);

- остаток, характеризующий неучтенные отклонения.

Приемы теории информации. Эти приемы используют для оценки степени однородности и взаимного соответствия явлений, изучаемых по картам. Речь идет об основной функции теории информации - энтропии. В теории информации энтропия характеризует степень неопределенности каких-либо исходных данных или передаваемых сообщений, а в картографическом анализе эта функция оказалась довольно удобной для оценки степени однородности / неоднородности (разнообразия) картографического изображения.

Энтропией E(J) некоторой системы А называется сумма произведений вероятностей со/ различных состояний этой системы на логарифмы вероятностей, взятая с обратным знаком:

принято брать логарифмы вероятностей по основанию 2, что связано с двоичной системой счисления. Смысл функции не изменится, если пользоваться десятичными или натуральными логарифмами. Функция Е(А) остается неотрицательной. Она обращается в нуль, когда на карте изображен только один контур или выдел (т.е. изображение совершенно однородно), и монотонно возрастает с увеличением числа контуров п. Это свойство функции энтропии позволяет косвенно характеризовать неоднородность картографического изображения, понимаемую как разнообразие контуров и неравномерность их распространения по площади (контурам с разными площадями соответствуют различные значения

W/),

Кроме того, информационные функции используют для оценки степени взаимного совпадения контуров на разных картах. В этом случае они выполняют роль своеобразных показателей взаимосвязи явлений наподобие коэффициентов корреляции.