интересно
Предыдущая | Содержание | Следующая

Математические основы картографических измерений

Известно, что Земля шарообразна, но не обладает формой идеального шара. Фигура ее неправильна и, как всякое вращающееся тело, она немного сплюснута у полюсов. Кроме того, из-за неравномерного распределения массы земного вещества и глобальных тектонических деформаций Земля имеет обширные, хотя и довольно пологие, выпуклости и вогнутости. Сложную фигуру нашей планеты называют геоидом. Точно определить его форму практически невозможно, но современные высокоточные измерения со спутников позволяют иметь о нем достаточно хорошее представление и даже описать уравнением.

Наилучшее геометрическое приближение к реальной фигуре Земли - эллипсоид вращения - геометрическое тело, которое образуется при вращении эллипса вокруг его малой оси. Сжатие эллипсоида моделирует сжатие планеты у полюсов.

Исторически сложилось так, что в разные времена и в разных странах были приняты и законодательно закреплены различные эллипсоиды, и их параметры не совпадают между собой. В России принят эллипсоид Ф.Н. Красовского, вычисленный в 1940 г. Его параметры таковы:

= 6 378 245,000 м;

= 6 356 863,019 м;

: 298,3.

В США и Канаде до недавнего времени использовали эллипсоид Кларка, рассчитанный еще в 1866 г., его большая полуось на 39 м короче, чем в российском эллипсоиде, а сжатие определено как 1 : 295,0. Во многих странах Западной Европы и некоторых государствах Азии принят эллипсоид Хайфорда, вычисленный в 1909 г., а в бывших английских колониях (в Индии и странах Южной Азии) используют рассчитанный англичанами в 1830 г. эллипсоид Эвереста.

В 1984 г. на основе спутниковых измерений определен международный эллипсоид WGS-84 (World Geodetic System). Всего в мире насчитывается около полутора десятков эллипсоидов. Их примеры приведены в табл. 6.1.

Карты, составленные на основе разных эллипсоидов, получаются в несколько различающихся координатных системах, что создает неудобства. Однако для принятия единого международного эллипсоида требуется перевычислить координаты и пересоставить все карты, а это долгое, сложное и, главное, дорогостоящее занятие. Несовпадения бывают заметны главным образом на крупномасштабных картах при определении по ним точных координат объектов. Но на широко используемых географических средне- и мелкомасштабных картах такие различия не очень чувствительны. Более того, иногда вместо эллипсоида берут шар и тогда в качестве среднего радиуса Земли принимают величину R-6 367,6 км.

Погрешности разовых измерений при замене эллипсоида шаром или при использовании прямоугольных координат с карт невелики. Однако если прокладывать маршрут транспортного средства по местности с многочисленными поворотами (галсами), пусть даже небольшими в угловом измерении, то погрешность накапливается. Например, если при прокладке сложного маршрута вертолета в рамках квадратного района 100x100 км пренебречь тем, что Земля - эллипсоид, и использовать прямоугольные координаты с карты, то погрешность может оказаться такой, что этот вертолет выйдет к конечной точке, расположенной в стороне от истинной точки финиша на несколько километров (до 10 и более) - за счет многочисленных галсов во время полета.

Чтобы добиться наименьших искажений, применяют также способ двойного проектирования: сначала эллипсоид проектируют на шар, а затем шар - на плоскость. При равновеликом отображении, когда площадь поверхности эллипсоида Красовского должна быть равна площади поверхности шара, радиус его оказывается равным Д = 6371 116м.

Для упрощения проектирования применяют и иные способы отображения эллипсоида на шар.

Масштаб карты - степень уменьшения объектов на карте относительно их размеров на земной поверхности (точнее, на поверхности эллипсоида). Строго говоря, масштаб постоянен только на планах, охватывающих небольшие участки территории. На географических картах он меняется от места к месту и даже в одной точке - по разным направлениям, что связано с переходом от сферической поверхности планеты к плоскому изображению. Поэтому различают главный и частный масштабы карт. Главный масштаб показывает, во сколько раз линейные размеры на карте уменьшены по отношению к эллипсоиду или шару. Этот масштаб подписывают на карте, но необходимо иметь в виду, что он справедлив лишь для отдельных линий и точек, где искажения отсутствуют. Частный масштаб отражает соотношения размеров объектов на карте и эллипсоиде (шаре) в данной точке. Он может быть больше или меньше главного. Частный масштаб длин ц показывает отношение длины бесконечно малого отрезка на карте ds к длине бесконечно малого отрезка ds на поверхности эллипсоида или шара, а частный масштаб площадей р передает^ аналогичные соотношения бесконечно малых площадей на карте dp и эллипсоиде или шаре dp:

В общем случае, чем мельче масштаб картографического изображения и чем обширнее территория, тем сильнее сказываются различия между главным и частным масштабами.

Масштаб указывается на картах в различных вариантах. Численный масштаб представляет собой дробь с единицей в числителе. Он показывает, во сколько раз линейные размеры на карте меньше соответствующих длин на местности (например, 1 : 1 000 000). Линейный (графический) масштаб дается на полях карты в виде линейки, разделенной на равные части (обычно сантиметры), с подписями, означающими соответствующие расстояния на местности. Он удобен для измерений по карте. Именованный масштаб указывает в виде подписи, какое расстояние на местности соответствует одному сантиметру на карте (например, в 1 см 1 км).

Картографическая проекция - математически определенное отображение поверхности эллипсоида или шара (глобуса) на плоскость карты. Проекция устанавливает однозначное соответствие между геодезическими координатами точек. Каждая точка имеет две координаты (рис. 6.4):

широту ф, которая на иностранных картах иногда обозначается как latitude (или lat);

долготу к, иногда обозначаемую как longitude (или Ion).

На карте этой же точке соответствуют прямоугольные координаты X и Y. Уравнения проекций в общей форме выглядят так:

Конкретные реализации функций f и/г часто выражены довольно сложными математическими зависимостями, их число бесконечно, а, следовательно, разнообразие картографических проекций практически неограничено.

Теория картографических проекций составляет главное содержание математической картографии. В этой области разрабатывают методы изыскания новых проекций для разных территорий и разных задач, создают приемы и алгоритмы анализа проекций, оценки распределения и величин искажений. Особый круг задач связан с учетом этих искажений при измерениях по картам, с переходом из одной проекции в другую и т.п. Компьютерные технологии позволяют рассчитывать проекции с заданными свойствами. Существуют различные виды проекций шара или эллипсоида на плоскую карту, которые различаются по типу развертки и вносимых при этом искажений.

Цилиндрические проекции - проектирование шара (эллипсоида) ведется на поверхность касательного или секущего цилиндра, а затем его боковая поверхность разворачивается в плоскость. Если ось цилиндра совпадает с осью вращения Земли, а его поверхность касается шара по экватору (или сечет его по параллелям), то проекция называется нормальной (прямой) цилиндрической. Тогда меридианы, нормальной сетки представляются в виде равноотстоящих параллельных прямых, а параллели - в виде прямых, перпендикулярных к ним. На таких проекциях меньше всего искажений в тропических и приэкваториальных областях.

Если ось цилиндра расположена в плоскости экватора, то это поперечная цилиндрическая проекция. Цилиндр касается шара по меридиану, искажения вдоль него отсутствуют, и следовательно, в такой проекции наиболее выгодна изображать территории, вытянутые с севера на юг. В тех случаях когда ось вспомогательного цилиндра расположена под углом к плоскости экватора, проекция называется косой цилиндрической. Она удобна для вытянутых территорий, ориентированных на северо-запад или северо-восток.

Конические проекции- поверхность шара (эллипсоида) проектируется на поверхность касательного или секущего конуса, после чего она как бы разрешается по образующей и разворачивается в плоскость. Как и в предыдущем случае, различают нормальную (прямую) коническую проекцию, когда ось конуса совпадает с осью вращения Земли, поперечную коническую - ось конуса лежит в плоскости экватора и косую коническую — ось конуса наклонена к плоскости экватора.

В нормальной конической проекции меридианы представляют собой прямые, расходящиеся из точки полюса, а параллели - дуги концентрических окружностей. Воображаемый конус касается земного шара или сечет его в районе средних широт, поэтому в такой проекции удобнее всего картографировать территории России, Канады, США, вытянутые с запада на восток в средних широтах.

Азимутальные проекции- поверхность земного шара (эллипсоида) переносится на касательную или секущую плоскость. Если плоскость перпендикулярна к оси вращения Земли, то получается нормальная (полярная) азимутальная проекция. Параллели в ней являются концентрическими окружностями, а меридианы -радиусами этих окружностей. В этой проекции всегда картографируют полярные области Земли и других планет.