интересно
Предыдущая | Содержание | Следующая

Модель Блэка-Шоулза

Широко используемая в настоящее время для оценки капитальных вложений методология дисконтированного денежного потока имеет недостатки:

Оценка ожидаемых денежных потоков ложна, так как требуется большая точность в предсказании изменения цен на выпускаемую продукцию и потребляемые ресурсы на несколько лет вперед. Ошибка велика как в вычислении будущих денежных потоков, так и при определении соответствующей без рисковой ставки процента.

Практическое использование принципа DCF крайне затруднено, когда проект включает один или несколько значительных операционных опционов. Операционные опционы возникают, когда менеджмент может отложить принятие решения о характере операции до какого-либо момента в будущем, когда будет разрешена какая-нибудь значительная неопределенность. Подобные операционные опционы усложняют расчет ожидаемых денежных потоков, без рисковых процентных ставок из-за сложной структуры рисков.

Принцип дисконтированного денежного потока косвенно предполагает, что фирмы держат реальные активы пассивно. При его использовании не учитываются опционы, заложенные в реальных активах. Но финансовый менеджер может активно использовать их, предпринимая действия для нивелирования потерь ПО проектам или реализовывая потенциальные новые возможности.

Американские ученые С. Мейсон, Р. Мертон и Е. Альтман предположили, что должен быть сформулирован новый принцип оценки капитальных вложений, включающий в себя теорию ценообразования опционов на финансовых рынках ее развитым математическим аппаратом. Для этого необходимо провести аналогию между финансовыми опционами и операционными опционами, другими словами, представить инвестиционный проект как опционный контракт.

Опционный контракт — документ, удостоверяющий право покупки или продажи товара, валюты или ценных бумаг по оговоренной цене. Различают европейский опцион, допускающий покупку или продажу в определенный день, и американский опцион, допускающий покупку или продажу до определенного дня. Контракт на покупку называется call-опционом, на продажу — put-опционом.

Новый принцип оценки капитальных вложений сейчас находит на Западе все более широкое применение в практике анализа инвестиционных проектов в самых разных отраслях: горнодобывающая промышленность, добыча полезных ископаемых, перерабатывающая промышленность, машиностроение.

МодельБлэка-Шоулза(5/ас£-5сЛо/<?<г optionpricingmodel)6bmapa3-работана в 1973 г. для оценки премии европейских call-опционов на акции. В основу модели положена концепция формирования безрискового портфеля активов, динамика стоимости которых не зависит от динамики курса акций. Рассматривался портфель, состоящий из акций и опциона.

При построении модели учитывался ряд ограничений:

краткосрочные процентные ставки известны и постоянны в течение срока действия опциона; краткосрочные кредитные и депозитные процентные одинаковы;

цена акции изменяется случайным образом с дисперсией, пропорциональной квадрату из цены акции, поэтому распределение возможных значений цен акций является логнормальным, дисперсия доходов по акциям постоянна;

не учитываются операционные расходы на покупку/продажу опциона и акций, а также налоги.

Условие, согласно которому доходность безрискового портфеля, состоящего из акций и опционов, равна безрисковой ставке процента в любой момент времени, описывается с помощью частного дифференциального уравнения, решением которого и является формула Блэка-Шоулза.

В соответствии с этой формулой стоимость европейского опциона call определяется разностью между ожидаемым взвешенным курсом базового актива и ожидаемой дисконтированной величиной цены использования (издержками) данного опциона:

где С — премия европейского call-опциона; S — цена базового актива (цена акции по рыночным данным); К— цена исполнения; Т— время, оставшееся до момента исполнения опциона; г — безрисковая процентная ставка; s — стандартное отклонение цены базового актива; N(d) —-функция нормального распределения.

Для определения N(d) можно использовать таблицы для стандартной нормальной кривой или Excel-функцию HOPMCTPACII(d). Она возвращает стандартное нормальное интегральное распределение, которое имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице.

Уравнение плотности стандартного нормального распределения имеет следующий вид:

где d — это значение, для которого строится распределение.

Пример

Требуется оценить call-опцион на акции с ценой исполнения 60 д. е. и остаточным периодом 3 месяца. Безрисковая процентная ставка — 12% годовых. Текущий курс акции — 59 д. е., волатильность курса акции — 20%.

Стоимость этого опциона составляет 2,2058 д. е. (табл. 8.9).

Если равновесная цена опциона больше рыночной, то инвестор может продать опцион; если меньше, то купить опцион.

можно определить стоимость европейского put-опциона;

Формулы позволяют рассчитывать не только размеры прелгай, но и решать обратную задачу — подбирать цены исполнения или даты истечения контракта. Это дает возможность анализировать итоги торгов, приводя премии по разным видам опционов (call, put) и разным ценам исполнения к общему знаменателю.

Адаптация модели Блэка-Шоулзак материальным объектам инвестирования (земельные участки, месторождения, здания, сооружения, оборудование, технологии и др.) проявляется в трактовке и методах расчета соответствующих параметров модели.

Если фирма связана с разработкой месторождения, то трактовка параметров модели будет такова: S — текущая стоимость разработанного месторождения; К — затраты на разработку месторождения; Т- срок, отведенный на разработку месторождения; s — стандартное отклонение стоимости разработанного месторождения; г - безрисковая проектная ставка; N(d) — функция нормального распределения.

Пример

Предположим, что существует нефтяное месторождение со следующими параметрами:

объемместорождения до 100 млн баррелей в год;

текущая стоимость затрат на разработку составляет 11,79 у. е. за один баррель;

временной разрыв между добычей и разработкой составляет 3 года;

срок на разработку составляет 10 лет;

ожидаемое стандартное отклонение 14,2%;

коэффициент выплаты прибыли (отношение суммы выплачиваемых дивидендов к объему чистой прибыли) составляет 4,1%;

стоимость разработанного месторождения в настоящее время составляет 12 у. е. за одни баррель.

Используя формулу, с учетом новой трактовки переменных рассчитаем значения цены опциона на разработку месторождения в расчете 1 у. е. затрат на разработку при различных значениях параметров V/D, s, Т. Результаты расчета представлены в табл. 8.10.

Первоначально рассчитывают текущую стоимость разработанного месторождения V " 12/(1 + 0,041) = 10,61 у. е.

Далее рассчитывают коэффициент С — V/D, где V— текущая стоимость разработанного месторождения, полученного после ожидавшегося временного разрыва; D — затраты на разработку месторождения. Отсюда С= 10,61/11,79=0,90.

Теперь определяют стоимость неразработанного месторождения DV, используя рассчитанные значения из табл. 8.10. Для Т= 10 лет, s- 14,2% имеем DV =0,0524 х 11,79х 100 000 000 = 61 838 550 у. е.

Смысл полученного результата состоит в том, что право разрабатывать месторождение в будущем в настоящее время имеет положительную стоимость DV— 61 млн у. е.

В основе любого инвестиционного проекта лежат три важных реальных опциона: опцион на продолжение инвестиций, опцион на отказ от проекта и опцион на выжидание (и анализ ситуации), прежде чем инвестировать. Эти опционы позволяют менеджерам увеличивать стоимость бизнеса, расширяя его возможности или уменьшая потери.

Опцион на продолжение инвестиций означает, что проект помимо потоков денежных средств непосредственно от самого проекта порождает опцион call на последующие проекты, т. е. реализация проекта сегодня порождает благоприятные инвестиционные возможности на завтра (а это и есть опционный контракт).

Пример

Пусть разрабатываемый проект характеризуется следующими параметрами:

решение об инвестировании проекта может быть принято через 2 года;

объем инвестиций в проект (цена исполнения) составляет 2 млн у. е.;

приведенная стоимость прогнозируемых денежных потоков составляет 16 млн у. е.;

будущей стоимости потоков денежных средств от проекта свойственна высокая неопределенность. Поведение этой стоимости подобно поведению цен на акции со стандартным отклонением 70% в год;

безрисковая ставка составляет 55% годовых.

Потоки денежных средств и финансовый анализ эффективности вложений по принципу дисконтированного денежного потока представлены в табл. 8.11.

Для определения возможности инвестирования в последующие проекты определяют стоимость опциона call по формуле Блэка-Шоулза: С= 4285,1 тыс. у. е.

Таким образом, стоимость проекта равна его собственной чистой приведенной стоимости (4078,7) и стоимости связанного с ним опциона call (4285,1), что в итоге дает 8363,8 тыс. у. е.

Если на рынке события развиваются в неблагоприятном направлении, то проект можно отменить, т. е. продать активы проекта по их рыночной цене. В этом случае необходимо оценить опцион на прекращение бизнеса. Для этой оценки Д. Кенсингер модифицировал модель Блэка-Шоулза.

Смысл предложенного им подхода состоит в том, что возможность (опцион) ухода из инвестиционного проекта (сокращение убытков и возмещение части первоначальных инвестиций путем продажи части активов) рассматривается подобно владению страховым полисом, по которому производятся выплаты, если проект обеспечивает результат ниже номинала. Цена этого полиса определяется как сумма чисто дисконтированной стоимости и стоимости опциона.

Рассмотрим подход к оценке опциона на отказ на примере одного из инвестиционных проектов фирмы — приобретение установки.

Пример

Фирма рассматривает возможность покупки новой установки стоимостью 120 000 у. е. По оценке отдела маркетинга и сбыта, стоимость бизнеса может либо вырасти на 33% с вероятностью 0,6, либо уменьшиться на 25% с вероятностью 0,4. Возможные результаты приобретения показаны на рис. 8.5.

Ожидаемый поток денежных средств по инвестиционному проекту составит 0,6 х 150 000 + 0,4 х 70 000 = 118 000 у. е.

Приведенная стоимость проектаравна 118000/(1 +0,16)= 101724у. е.

Таким образом, чистая приведенная стоимость составляет: 101 724 - 120 000 = -18 276 у. е.

Приведенные расчеты не включают возможность отказа от бизнеса. Так как вероятность неудачного развития событий на рынке достаточно высока, то можно предположить, что лучше заранее продать оборудование стоимостью 120 000 у. е., чем продолжать бизнес, стоимость которого может составить 70 000 у. е.

Для оценки стоимости опциона на отказ необходимо оценить стоимость опциона put для периода в один год на установку с ценой исполнения 120 000 у. е. Имеется следующая информация:

цена исполнения 120 000 у. е.;

приведенная стоимость проекта без опциона на отказ 101 724 у. е.;

время, оставшееся до исполнения опциона, 1 год;

процентная ставка 16%;

будущая стоимость проекта при высоком спросе 150 000 у. е.;

будущая стоимость проекта при низком спросе 70 000 у. е.

Так как в развитии бизнеса предполагается, что возможны два результата, то для определения стоимости опциона на отказ возможно применение биноминальной модели, которую разработали У. Шарп, Д. Кокс, С. Росс иМ. Рубинштейн.

Числитель этой формулы показывает ожидаемую будущую стоимость опциона на отказ от бизнеса.

Уравнение однопериодной биноминальной модели ценообразования европейских опционных контрактов put на акции, не выплачивающие дивиденды, имеет вид:

Внутренняя стоимость опциона put определяется как max (0; К-S). Эта формула означает, что если бизнес будет успешным, то опцион на отказ Р обесценится. Если же бизнес не будет успешным, то фирма исполнит опцион Р{ (продав оборудование за 120 000 у. е. и сэкономив 50 000 у. е. (120 000 - 70 000.

Таким образом, стоимость опциона put:

Следовательно, стоимость бизнеса с учетом опциона на отказ возрастает на 20 819 у. е. и составляет 101 724 + 20 819 = 122 543 у. е., а величина скорректированной чистой дисконтированной стоимости дает значение 20 819 - 18 276 = 2543 у. е.

Опционное время для осуществления инвестиций выбрать легко, если нет никакой неопределенности. Для этого вычисляют приведенную стоимость инвестиционного проекта на различные даты инвестирования и выбирают тот период времени, в котором приведенная стоимость имеет максимальное значение. Однако принцип не работает в условиях неопределенности.

Если проект не подпадает под принцип сейчас или никогда (необходимо инвестировать проект немедленно или подождать; риски, связанные с его осуществлением высоки; проект имеет положительную чистую приведенную стоимость), то возникает проблема выбора оптимального времени для осуществления инвестиций. Решение начать или отложить осуществление инвестиций равносильно решению исполнить опцион call немедленно или подождать и исполнить его позже.

Для определения времени начала инвестирования проекта могут быть использованы биномиальные модели.

Однопериодная биномиальная модель оценки опционных контрактов call на акции, не выплачивающие дивиденды, описывается выражением:

где u — сдвиг цены акции вверх; d — сдвиг цены акции вниз; г — безрисковая процентная ставка (и > г > d). Если г > и, то необходимо продать акции и инвестировать вырученную сумму под безрисковый процент г, если же d > г, то необходимо взять кредит под безрисковый процент г и купить акции.

Двухпериодная биноминальная модель оценки опционных контрактов имеет вид:

Использование биноминальной модели при разбиении временного интервала, оставшегося до исполнения опциона, на 5 периодов дает результаты, приблизительно совпадающие с результатами расчета по формуле Блэка-Щоулза.