интересно
Предыдущая | Содержание | Следующая

Характеристика методов динамического программирования

Методы динамического программирования применяются при решении оптимизационных задач, в которых целевая функция или ограничения, или же первое и второе одновременно, характеризуются нелинейными зависимостями. Примерами нелинейных зависимостей могут быть: зависимость экономической эффективности деятельности предприятия от масштабов производства; зависимость затрат на производство партии деталей от количества изделий в партии и др.

Использование в экономическом анализе методов динамического программирования рассмотрим на следующем примере.

Задача. Инвестор планирует вложить 7 тыс. грн в акции трех предприятий. Стоимость акций предприятий: 1-го — 3 тыс. грн, 2-го — 2 тыс. грн, 3-го — 1 тыс. грн. Прибыль от акций предприятий: 1-го — 7 тыс. грн, 2-го — 5 тыс. грн, 3-го — 2 тыс. грн.

Необходимо найти такой план вложения средств, при котором прибыль будет максимальной.

Решение. Составим математическую модель задачи:

Решение задачи разбивается на три этапа, на каждом из которых соответственно определяется максимальная прибыль от вложения средств в акции 1-го предприятия; 1-го и 2-го, а затем 1-го, 2-го и 3-го предприятий. Для этого используем следующее рекуррентное соотношение:

от вложения Z средств в акции

средств в акции 1-го, 2-го,…, n–1-го предприятий.

Результаты расчетов приведены в табл. 39.

для разных значений Z:

Результаты расчетов приведены в табл. 40.

для значения Z = 7:

В табл. 41 представлены значения функции f3(7) при разных значениях X3. Необходимо выбрать максимальное значение f3(7) и таким образом определить X3.

Максимальная прибыль от вложения 7 тыс. грн в акции 1–3-го предприятий будет равна 17 тыс. грн, при этом возможны два значения X3. Это значит, что существует два оптимальных плана вложения средств.

Результаты расчетов каждого этапа приведены в обобщающей таблице (табл. 42).

Найдем оптимальный план вложения сре дств пр и X3 = 0. При этом 7 – 0⋅ 3 = 7 тыс. грн вкладываются в акции 1-го и 2-го предприятий; f2(7) = 17 при X2 = 2, тогда 7 – 2⋅ 2 = 3 тыс. грн вкладываются в акции 1-го предприятия; f1(3) = 7 при X1 = 1. Таким образом, получаем следующий оптимальный план вложения средств:

акция 1-го предприятия;

акции 2-го предприятия;

акции 3-го предприятия.

Найдем оптимальный план вложения сре дств пр и X3 = 1. При этом 7 – 1 = 6 тыс. грн вкладываются в акции 1-го и 2-го предприятий; f2(6) = = 15 при X2 = 3, тогда 6 – 3⋅ 2 = 0 тыс. грн вкладываются в акции 1-го предприятия; f1(0) = 0 при X1 = 0. Таким образом, получаем следующий оптимальный план вложения средств:

акций 1-го предприятия;

акция 2-го предприятия;

акции 3-го предприятия.

Таким образом, методы динамического программирования позволяют выбрать из множества альтернативных решений оптимальное, которое обеспечивает максимальное достижение поставленной цели.

Методы динамического программирования более широко рассматриваются в курсе “Исследование операций и методы оптимизации”.