интересно
Предыдущая | Содержание | Следующая

О разложимости исходного портфеля на элементарные (простые) портфели

Рассмотрим задачу в постановке в) при комиссии в форме G и при критерии математическом ожидании конечного капитала.

Определим портфель как набор из ценных бумаг

- количество бумаг 1 -го вида в

портфеле в момент времени t . ht0 - количество текущих денежных

количество бумаг вида /, находящихся в портфеле до операции купли-продажи и после соответственно.

- количество купленных бумаг вида / в день t , a

- количество проданных бумаг вида / в день t .

- цены в момент времени t , описываются марковским процессом с глубиной р.

Предполагается, что биржа за каждую операцию с портфелем взимает плату пропорционально объему капитала, задействованного в операции. Коэффициент пропорциональности будем называть комиссией.

Ограничения на количество бумаг:

Заметим, что если каждый вид бумаги / в день t только покупается или только продается т.е. %tl7Ztl — 0, то ограничение на капитал запишется в виде задачи G.

Тогда после операций купли-продажи в момент t , перед новым актом принятия решений в момент t + l , оценка капитала имеет

Под трансформацией капитала понимается переход от

Определим цель управления портфелем как стремление к максимальному увеличению математического ожидания конечной

, или, поскольку по условию задачи

Р ассмотрим оптимизационную задачу в постановке в) §2.

Для этого случая справедливы следующие уравнения Беллмана.

определим оптимальную оценку для портфеля

При t = Т — 2 определим оптимальную оценку для портфеля

hj,_2 при ценах ст _2:

Соответственно для текущего t определим оптимальную оценку для портфеля h~ при ценах ct :

Указанные соотношения прямо следует из определения и постановки задачи, реализуя принцип оптимальности Беллмана. Теперь для данного процесса установим справедливость принципа разложения

Оптимальная оценка суммарного портфеля равна сумме оптимальных оценок слагаемых портфелей.

Действительно, проведем рассуждения по индукции, двигаясь справа налево.

При t = Т справедливость разложения следует из свойств линейной формы - скалярного произведения.

При t = T- рассмотрим три портфеля hj_x , п ^_г , hj_x ,

таких что hT_x = hT_x + пт_х , и установим соответствие между оптимальными оценками этих портфелей.

Как следует из линейности оптимизируемой функции в приведенных выше записях, она может быть представлена в виде суммы

и, следовательно, общая оптимальная задача раскладывается

на сумму двух задач, так что:

Рассмотрим теперь текущий шаг t и соответственно три задачи на этом шаге:

Если для момента t +1 справедливо

то тогда для задачи (5) можно записать следующие эквивалентные преобразования:

Следствие. (Вытекает из доказанного Принципа Разложения.) Для любого портфеля ht = (ht 0, htl , К , ht N) допустимо разложение на простые (элементарные) портфели, т.е.

Теорема 5. Если h~ - простой портфель, то оптимальное поведение на шаге t реализуется путем перехода в простой портфель на шаге t + .

Доказательство. (Непосредственно следует из предыдущего утверждения.) Рассмотрим уравнение Беллмана на шаге t . Пусть

- простое состояние. Тогда задача оптимизации записывается в виде

Решение реализуется в одной из вершин многогранника ограничений:

то вершина определяется из условий

Оптимальная оценка в этом случае определяется в виде

т.е. путем перехода в одно из простых состояний на t +1 шаге.

Теорема 6. Поскольку стартовое положение портфеля простое h~ — (S0,0,K ,0), то оптимальная стратегия в полной задаче

реализуется в последовательном переходе из простого состояния в простое.