Постановки задач при критерии математического ожидания
Во всем дальнейшем тексте рассматривается однокритериальная задача при критерии математического ожидания.
В зависимости от информированности инвестора и соответственно класса стратегий могут быть сформулированы различные задачи управления процессом трансформации портфеля.
Программные стратегии (функции времени)
а) Если инвестор будет располагать информацией о реализации случайного процесса цен на весь рассматриваемый интервал и выбирать управления в виде hЈ как функции времени, т.е. как функции только номера шага, то его наибольший результат запишется в виде:
б) Если оставаясь в рамках программных стратегий инвестор не будет располагать никакой информацией о реализациях случайного процесса, то его наибольший результат запишется в виде
и решение задачи фактически сведется к детерминированному случаю.
Стратегии - политики (класс синтезов)
в) Если управление в день t разыскивается в виде функции от
истории, т.е.
что предполагает, что инвестор будет постепенно шаг за шагом получать информацию о ценах, то его наибольший результат запишется в виде
г) Если инвестор будет располагать информацией на шаг вперед, во всем оставаясь в рамках предыдущей постановки, то его наибольший результат запишется в виде
Во всех перечисленных выше постановках учитываются ограничения на динамику портфеля в одной из записей G, Е, О.
Теорема 1. Верны следующие соотношения:
Доказателъство
Данный факт следует из того, что в каждой последующей задаче по сравнению с предыдущей рассматривается более широкий класс управлений, содержащий в себе и управления предшествующей задачи.
Доказател ъстео
Этот факт следует из монотонной зависимости конечного дохода от комиссионных изъятий: наибольшее изъятие - в случае Е , наименьшее изъятие - в случае О, промежуточное - в случае G.
Все дальнейшее рассмотрение в данной работе относится к случаю в), как наиболее реалистичному случаю, и в смысле получения информации, и в смысле содержания задачи управления портфелем ценных бумаг.
Постановка задачи в модели CALM [16] также относится к данному классу.