Формальная постановка двухкритериальной задачи при управления портфелем в многошаговом случае
В настоящей работе рассматривается двухкритериальная задача об управлении портфелем в динамике с целью максимизации ожидаемого дохода от вложенного капитала в начале и максимизации критерия допустимых потерь в конце процесса. Содержательно постановка аналогична рассмотренной в предшествующей работе, в которой принимал участие автор [17], но в отличие от прежней записи динамика портфеля записывается в переменных - количествах ценных бумагах.
Дальнейшее развитие получает анализ уравнений Беллмана [85]. Предложены вычислительные процедуры прогонки, которые основываются на декомпозиции исходной задачи на случайный процесс и детерминированный.
Часть результатов описанных ниже опубликована в работах автора [86- 92].
соответствует номеру торговой сессии.
Будем считать, что в период времени [—р , Т], р > 0 на рынке представлены N видов бумаг.
Каждой бумаге / в день t будем сопоставлять значение цены ct .. Величины ct . принимают дискретные значения в промежутке [0, стах ] с шагом Ас. Вектор цен в день t будем обозначать ct .
(предшествующих t ),
; если t - последняя из торговых сессий, предшествующих погашению бумаги /, то для всех t > t положим ct ,!. — 0.
. (Как правило, цену последней сделки можно с
удовлетворительной точностью реализовать на практике, что важно для адекватности рассматриваемой модели действительности.)
- стоимость входящих в портфель бумаг / - го вида
Будем считать, что любая денежная сумма может быть целиком конвертирована в облигации произвольного вида / без остатка и величины hti могут принимать произвольные дробные значения.
На практике при операциях с облигациями в силу их дискретности, как правило, возникают денежные остатки. Это приводит к тому, что доходность операций оказывается несколько ниже, чем она была бы в непрерывном случае. Однако при достаточно крупных объемах вложенного капитала влияние "неработающих" остатков на общий доход столь невелико, что им можно пренебречь без особого ущерба для результатов.
и
При операциях с ценными бумагами инвестор выплачивает бирже комиссионные сборы. Комиссия взимается с каждого акта, будь то продажа или покупка. Мы будем рассматривать несколько типов поведения инвестора в расчетах с биржей.
Основная задача, случай G.
Если инвестор в день t проводит операции с некоторым видом бумаг /, то с данным видом бумаг это только одна операция: либо продажа (части) бумаг /, либо покупка (дополнительная) бумаг вида /.
В этом случае динамика изменения количества бумаг в портфеле (из ht в hЈ ) удовлетворяют соотношению
Вспомогательная задача, случай Е
В начале сессии инвестор продает все бумаги и на полученный капитал закупает в конце сессии новый набор облигаций.
В этом случае динамика портфеля описывается соотношением
Вспомогательная задача, случай О
Инвестор не выплачивает комиссию.
В этом случае динамика портфеля описывается соотношением
Через St , S* обозначим стоимость портфеля до и после управления в день t , соответственно
Целью управления будет максимизация за период [О, Т] дохода S? от вложенного в ценные бумаги в первый день управления
капитала и минимизация риска.
Изменение цен от сессии к сессии будем описывать в виде марковского процесса с дискретным временем и глубиной р , т.е.
вектор цен в день t - это случайный вектор ct с распределением
В дальнейшем управление в день t в рассматриваемой модели отождествим с выбором hЈ .
назовем стратегией
определяют
вероятностное распределение на траекториях
которое индуцирует распределение Sj как случайной величины.
Рассмотрим для этой операции инвестора два критерия: критерий, описывающий ожидаемый результат, и критерий, описывающий риск операции.
Критерий математическое ожидание
Ставится задача максимизировать математическое ожидание трансформации Sj в классе стратегий Г:
при ограничениях на динамику портфеля и некоторых ограничениях на переменные процесса.
Критерий допустимых потерь
Как отмечается в [10, 93], в последнее время в задачах управления портфелем все большую популярность приобретает критерий VaR (Value at Risk ), отражающий вероятность превышения (или недостижения ) заданного уровня некоторым избранным показателем качества управления и состояния процесса.
Определим в нашем случае при каждой заданной стратегии
управления Н+ этот критерий в виде
- определенное выше распределение для случайного вектора цен, а К - заданный уровень конечного результата.
Перепишем это определение, используя операцию осреднения и характеристическую функцию:
где характеристическая функция имеет вид
Как следует из приведенной записи, при управлении портфелем инвестору желательно стремиться к увеличению показателя качества W2.
Парето-оптималъные решения
Введенные таким образом критерии позволяют сформулировать двухкритериальную задачу управления портфелем: (Wx , W2) при ограничениях, описывающих динамику изменения состояния портфеля, и при управлении в широком классе управлений, как функций от состояния портфеля и процесса изменения цен. Отдельные постановки задач в зависимости от информированности инвестора приводятся ниже.
Как и в общем случае, в данной постановке можно строить отдельные точки паретовского множества введенных критериев, решая задачи
Замечания
Как следует из определения (Wx , W2) и свойств операции осреднения, для решения сформулированной задачи
допустимо использование формализма динамического программирования и, следовательно, возможно выписать уравнения Беллмана.
В то же время, если в качестве оценки риска принимается дисперсия конечного состояния портфеля по аналогии с классическим случаем задачи Марковича в одношаговом случае, то уравнения Беллмана не приводят к решению задачи, как показывает следующий пример.
Рассмотрим динамический процесс управления ценными бумагами в исходной постановке. Пусть задана некоторая стратегия поведения. Поставим вопрос: можно ли, двигаясь справа налево и отслеживая для состояний системы только дисперсию, просчитать дисперсию результата для всех состояний. Отрицательный ответ следует из примера.
Шаги t - 1,2,3; одна бумага в портфеле в единственном числе;
- первый индекс - шаг, второй индекс
нумерует состояния на шаге; управление в каждом состоянии одно, безальтернативное.
После первого шага с равной вероятностью система попадает либо в состояние 521, либо в состояние s22. Из любого из этих состояний на третьем шаге система детерминированно попадает в состояние с тем же вторым индексом.
Отсюда дисперсия результата (конечного капитала) для состояний 521 и s22 в силу дальнейшей детерминированности процесса равна нулю.
Результирующий капитал после состояния su примет с равной вероятностью или значение а, или Ъ. Поэтому дисперсия результата равна
т.е. является функцией разности а — Ъ, что не соответствует предыдущей нулевой оценке.
На практике [16] при решении динамических задач используется следующая модификация критерия типа дисперсии:
